Python数学小实验——自然对数e的理解

Python数学小实验——自然对数e的理解
先来输出一下自然对数e：

    >>>from math import e
    >>>print (e)
    2.718281828459045

一个神奇的数字

    import numpy as np
    import matplotlib.pyplot as plt
    
    x = np.logspace(0,4,num=100,dtype=float)
    y = (1+1/x)**x
    plt.plot(x,y)
    plt.show()

复利极限的理解

    >>>k_1=1*(1+1)   #假设我有1块，年利率是100%，一年定期后，我有
    >>>k_2=1*(1+1/2)**2   #存两个半年
    >>>k_365=1*(1+1/365)**365   #存365天
    >>>print(k_1)
    2
    >>print(k_2)
    2.25
    >>print(k_365)
    2.7145674820219727

理解e是复利增长的极限，有1块钱，复利100%，不管分成多少次，本利和都不会超过e≈2.718

从泰勒展开式来看
泰勒展开式：

f(x)=f(x0)+f′(x0)(x−x0)+12f’’(x0)(x−x0)2+…+f(n)(x−x0)nn!+Rn(x)
f(x)=f(x_0)+f’(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f’’(x_0)(x-x_0)^{2+…+\frac{f}{(n)}(x-x_0)^n}{n!}+R_n(x)
f(x)=f(x 0 ​ )+f ′ (x 0 ​ )(x−x 0 ​ )+ 2 1 ​ f ′′ (x
0 ​ )(x−x 0 ​ ) 2 +…+ n! f (n) (x−x 0 ​ ) n ​ +R
n ​ (x)

其中n阶泰勒余项 Rn(x)=f(n+1)(ξ)(n+1)!(x−x0)n+1
R_n(x)=\frac{f^{{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_0)}{n+1} R n ​ (x)=
(n+1)! f (n+1) (ξ) ​ (x−x 0 ​ ) n+1

令f(x)=ex,x=1,x0=0 f(x)=e^x,x=1,x_0=0f(x)=e x ,x=1,x 0 ​ =0可得：
e=1+11!+12!+…+1n!+R(n)
e=1+\frac{1}{1!}+\frac{1}{2!}+…+\frac{1}{n!}+R(n) e=1+ 1! 1 ​ +
2! 1 ​ +…+ n! 1 +R(n)

---

    def factorial(n):
        result = 1
        for i in range(1,n+1):
            result *= i
        return 1/result
    
    ee=1 for i in range(1,10):
        ee += factorial(i) print(ee)

计算到第10项，可得e=2.7182815255731922，已经非常吻合。

可进一步了解：
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathematical_constant)