第十一次作业

第五章场问题，选做了课后5.1题

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由场中已知的边界位置电势来确定其它各处的电势，之后进一步求电场强度。

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解题分析

观察下图，已知小正方形区域为一等势体区域，且电势为1；大正方形外框亦为一等势边界，电势为0。则由系统整体的对称性，设置各选定位置处的电势初始参考值

教材提供的题图

如下图，将小正方形和大正方形之间的距离等分为三份（分界线由虚线标出），并将电势差等分，设置各虚线处的具体参考值（已标识于虚线处）：

一，9×9矩阵

设置一个9×9的矩阵，记录下初始值，之后进行迭代更新。迭代时应注意到小正方形区域和大正方形边框处的电势不应变化。

上图即为场区域一些格点处的初始电势设定值。

Mathematica代码：

While[Abs[u1 - (u[[2, 1]] + u[[2, 3]] + u[[1, 2]] + u[[3, 2]])/4] >= 10^-4,

For[i = 2, i <= 8, i++,

For[j = 2, j <= 8, j++,

If[i >= 4 && i <= 6 && j >= 4 && j <= 6, Null, u[[i, j]] = (u[[i, j - 1]] + u[[i, j + 1]] + u[[i - 1, j]] + u[[i + 1, j]])/4]]]; u1 = u[[2, 2]]]；

MatrixForm[u]

设定的迭代终止条件为矩阵元素（2,2）在迭代前后值之差小于10^-4，得到迭代结果矩阵为（截图效果AV画质。。。）：

按矩阵元素值的大小对应颜色深浅，画出颜色表示图（外周一圈纯白表示着0）：

二，17×17矩阵

由上图可直观的看出迭代达到稳定时势场的大致分布，但像素点还有待增多，增多后效果会很好。我试着写任意步长细分区域的程序，而且把初始矩阵的设定也有编程解决了，于是这个问题在任意细分下的情况也可以解决，首先，设置初始矩阵为17×17，矩阵初始值自动设定程序为：

Mathematica代码：

step = .166667;

For[i = 1, i <= 17, i++,

For[j = 1, j <= 17, j++,

If[(i == 2 || i == 16) && (j >= 2 && j <= 16) || (j == 2 || j == 16) && (i >= 2 && i <= 16), u[[i, j]] = step*1];

If[(i == 3 || i == 15) && (j >= 3 && j <= 15) || (j == 3 || j == 15) && (i >= 3 && i <= 15), u[[i, j]] = step*2];

If[(i == 4 || i == 14) && (j >= 4 && j <= 14) || (j == 4 || j == 14) && (i >= 4 && i <= 14), u[[i, j]] = step*3];

If[(i == 5 || i == 13) && (j >= 5 && j <= 13) || (j == 5 || j == 13) && (i >= 5 && i <= 13), u[[i, j]] = step*4];

If[(i == 6 || i == 12) && (j >= 6 && j <= 12) || (j == 6 || j == 12) && (i >= 6 && i <= 12), u[[i, j]] = step*5];

If[(i == 7 || i == 11) && (j >= 7 && j <= 11) || (j == 7 || j == 11) && (i >= 7 && i <= 11), u[[i, j]] = 1];

If[(i == 8 || i == 10) && (j >= 8 && j <= 10) || (j == 8 || j == 10) && (i >= 8 && i <= 10), u[[i, j]] = 1];

If[i == 9 && j == 9, u[[i, j]] = 1]]]

因为区域被分成了更多小区域，所以判断稳定的条件由之前的10^-4改变为10^-5，得稳定的17×17矩阵为（请忽略画质。。。可点击原图查看，会清晰一些）：

彩图为：

中心小正方形为1势能区域，最外面一圈为0势能，颜色由红向蓝过度，势能值由1向0减小，此图已经比较细腻了，显示效果也比较好。颜色相同的条带可近似看作是等势线。

三，33×33矩阵

为了更好的显示效果，做了个33×33矩阵，运行结果矩阵很大，迭代运算的截止精度也向小数点后又推进了一位，达到了10^-6，最终结果矩阵大到无法完全截屏（下图只截取了一部分）：

但彩图的效果很好：

从上图已经可以看出很好的显示效果了，直观又上眼。其“等势线”也更加精细，场的分布已经比较了然，是一个很好的效果。

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我在编程过程中发现在理解了教材的算法和原理后，用Mathematica处理这个问题很容易，于是顺便把下题也解决了，与上题不同，此题的初始电势值设置要从头再来，且+1与-1之间也不是上题中的小正方形区域：

在上题的代码基础上，修改一下限制条件，有：

Mathematica代码：

While[Abs[u1 - (u[[2, 1]] + u[[2, 3]] + u[[1, 2]] + u[[3, 2]])/4] >= 10^-4, For[i = 2, i <= 8, i++, For[j = 2, j <= 8, j++, If[i >= 4 && i <= 6 && (j == 4 || j == 6), Null, u[[i, j]] = (u[[i, j - 1]] + u[[i, j + 1]] + u[[i - 1, j]] + u[[i + 1, j]])/4]]]; u1 = u[[2, 2]]]

MatrixForm[u]

运行结果矩阵为：

由该矩阵我们能发现势场分布与之前一题在左部分矩阵元上的区别，此题左半部分势场虽然有与上一题相似的地方（位于势值1和势值0之间），但是由于势值1区域由小正方形平板缩小为一个线分布，且右半部分增加了势值为-1的线分布，对势值有了明显影响。

转换为颜色图，效果更直观（蓝色越深，值越小，白色为0势值，颜色越偏向黄则势值越大）：

因为这个题目初始矩阵的设置比较麻烦，故只做了9×9的矩阵，但原理是类似的。

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结论

由课本的拉普拉斯等式出发，做分析得出数值解法，取得了一定效果，稳定矩阵的存在表明了方法的可靠性，矩阵转换为彩图显示令结果更加明显而直观，将区域细分为更多取样点，初始矩阵越大时，最终结果越精细，越了然直观。不得不说，课本的分析介绍的这种数值方法很好很有用，取样点密度高了之后会有更好的结果。

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说明

这次我没用Python，改用的Mathematica。我现在对那玩意有点阴影，有时候出问题找不到源头。。。但既然是计算物理而不是计算Python，用什么工具就不重要了，结果出来了就行。