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机器人学代数基础——对偶四元数与速度旋量(或运动螺旋)之间的转换

对偶四元数与旋量(或螺旋理论)之间的转换

机器人学代数基础——对偶四元数与速度旋量(或运动螺旋)之间的转换_第1张图片

坐标系O1绕轴s旋转θ，并移动d即对偶角\mathsf{\hat{\theta}}=\theta +\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }d。用对偶矢量表示为：

                                                                   \mathsf{\hat{s}}={{\mathsf{s}}_{0}}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{{\mathsf{s}}_{1}}={{\mathsf{s}}_{0}}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{r}\times {{\mathsf{s}}_{0}}

假定坐标系O与坐标系O之间的一般刚体运动为先转动四元数q接着再平移2t，或先平移1t再转动四元数q，且

                                                                  {}^{2}\mathsf{t}={{\mathsf{q}}^{*}}\circ {}^{1}\mathsf{t}\circ \mathsf{q}

四元数用于矢量的转动变换，则对偶四元数表示对偶矢量的位姿变换，如果令

                                                                  \mathsf{{q}'}=\frac{1}{2}\mathsf{q}\circ {}^{2}\mathsf{t}\text{=}\frac{1}{2}{}^{1}\mathsf{t}\circ \mathsf{q}

则对于O1中的一般对偶矢量{}^{1}\mathsf{\hat{v}}={}^{1}{{\mathsf{v}}_{0}}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{}^{1}{{\mathsf{v}}_{1}}有如下变换

                                               {}^{2}{{\mathsf{v}}_{0}}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{}^{2}{{\mathsf{v}}_{1}}\text{=}{{\left( \mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{{q}'} \right)}^{*}}\circ \left( {}^{1}{{\mathsf{v}}_{0}}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{}^{1}{{\mathsf{v}}_{1}} \right)\circ \left( \mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{{q}'} \right)

即                                                                  {}^{2}\mathsf{\hat{v}}={{\mathsf{\hat{q}}}^{*}}\circ {}^{1}\mathsf{\hat{v}}\circ \mathsf{\hat{q}}

其中

                                                              \mathsf{\hat{q}}=\mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{{q}'}=\mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\frac{1}{2}{}^{1}\mathbf{t}\circ \mathsf{q} 

如果用螺旋运动表示刚体运动可以表示为坐标系O1绕轴s旋转θ后沿轴s平移d得到坐标系O2。

用对偶四元数变换

                                                                 \mathsf{\hat{q}}=\mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{{q}'}=\mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\frac{1}{2}{}^{1}\mathbf{t}\circ \mathsf{q}

推导螺旋变换。坐标系O1的原点在螺旋轴s上的投影点为R，则

                                                                  \mathsf{r}=\frac{1}{2}\left( \mathsf{t}-d\mathsf{s}+\cot \left( \frac{\theta }{2} \right)\mathsf{s}\times \mathsf{t} \right)

位移d=\mathsf{t}\cdot \mathsf{s} ，又

                                                                  \mathsf{q}=\cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\mathsf{s}

可得到

                                                  \mathsf{\hat{q}}\text{=}\mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\frac{1}{2}{}^{1}\mathsf{t}\circ \mathsf{q}

                                                    =\left( \cos \frac{\theta }{2}+\sin \frac{\theta }{2}\mathsf{s} \right)+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\frac{1}{2}\left( -d\sin \frac{\theta }{2}+\left( \cos \frac{\theta }{2}\mathsf{t}+\sin \frac{\theta }{2}\mathsf{t}\times \mathsf{s} \right) \right)

                                                    =\left( \cos \frac{\theta }{2}-\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\frac{d}{2}\sin \frac{\theta }{2} \right)+\left( \sin \frac{\theta }{2}\mathsf{s}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\left( \frac{d}{2}\cos \frac{\theta }{2}\mathsf{s}+\sin \frac{\theta }{2}\mathsf{r}\times \mathsf{s} \right) \right)

又

                                                                  \sin \left( a+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{{a}_{0}} \right)=\sin a+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{{a}_{0}}\sin a

                                                                  \cos \left( a+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{{a}_{0}} \right)=\cos a-\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }{{a}_{0}}\cos a

则

                                                                  \mathsf{\hat{q}}=\cos \frac{{\mathsf{\hat{\theta }}}}{2}+\sin \frac{{\mathsf{\hat{\theta }}}}{2}\mathsf{\hat{s}}

其中

螺旋轴为

                                                                  \mathsf{\hat{s}}=\mathsf{s}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{{s}'}=\mathsf{s}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{r}\times \mathsf{s}

对偶角为

                                                                   \mathsf{\hat{\theta }}=\theta +\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }d, d=\mathsf{t}\cdot \mathsf{s}

假设对偶四元数表示为

                                        \mathsf{\hat{q}}=\mathsf{q}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\mathsf{{q}'}={{x}_{0}}+{{x}_{1}}\mathbf{i}+{{x}_{2}}\mathbf{j}+{{x}_{3}}\mathbf{k}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\left( {{y}_{0}}+{{y}_{1}}\mathbf{i}+{{y}_{2}}\mathbf{j}+{{y}_{3}}\mathbf{k} \right)

则螺旋角θ为

                                                                  \theta \text{=}2\arctan 2\left( \sqrt{{{\left( {{x}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{\left( {{x}_{3}} \right)}^{2}}},{{x}_{0}} \right)

       螺旋轴s为

                                                                  \left[ \begin{matrix} {{s}_{x}} \\ {{s}_{y}} \\ {{s}_{z}} \\ \end{matrix} \right]=\frac{1}{\sin \frac{\theta }{2}}\left[ \begin{matrix} {{x}_{1}} \\ {{x}_{2}} \\ {{x}_{3}} \\ \end{matrix} \right]

平移向量t为

                                          \left[ \begin{matrix} {{t}_{x}} \\ {{t}_{y}} \\ {{t}_{z}} \\ \end{matrix} \right]=2\left[ \begin{matrix} {{y}_{0}} \\ {{y}_{1}} \\ {{y}_{2}} \\ {{y}_{3}} \\ \end{matrix} \right]\circ \left[ \begin{matrix} {{x}_{0}} \\ -{{x}_{1}} \\ -{{x}_{2}} \\ -{{x}_{3}} \\ \end{matrix} \right]  =\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} -2{{x}_{1}} & 2{{x}_{0}} & -2{{x}_{3}} & 2{{x}_{2}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -2{{x}_{2}} & 2{{x}_{3}} & 2{{x}_{0}} & -2{{x}_{1}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -2{{x}_{3}} & -2{{x}_{2}} & 2{{x}_{1}} & 2{{x}_{0}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{y}_{0}} \\ {{y}_{1}} \\ {{y}_{2}} \\ {{y}_{3}} \\ \end{matrix} \right]

                                                    =\left[ \begin{matrix} 2\left( -{{x}_{0}}{{y}_{1}}+{{x}_{1}}{{y}_{0}}-{{x}_{2}}{{y}_{3}}+{{x}_{3}}{{y}_{2}} \right) \\ 2\left( -{{x}_{0}}{{y}_{2}}+{{x}_{1}}{{y}_{3}}+{{x}_{2}}{{y}_{0}}-{{x}_{3}}{{y}_{1}} \right) \\ 2\left( -{{x}_{0}}{{y}_{3}}-{{x}_{1}}{{y}_{2}}+{{x}_{2}}{{y}_{1}}+{{x}_{3}}{{y}_{0}} \right) \\ \end{matrix} \right]

直线距r为

                                                    \mathsf{r}=\frac{1}{2}\left( \mathsf{t}-d\mathsf{s}+\cot \left( \frac{\theta }{2} \right)\mathsf{s}\times \mathsf{t} \right)

                                                   r=\frac{1}{2}\left[ \begin{matrix} {{t}_{x}}-d{{s}_{x}}+\cot \frac{\theta }{2}\left( {{t}_{y}}{{s}_{z}}-{{t}_{z}}{{s}_{y}} \right) \\ {{t}_{y}}-d{{s}_{y}}+\cot \frac{\theta }{2}\left( {{t}_{z}}{{s}_{x}}-{{t}_{x}}{{s}_{z}} \right) \\ {{t}_{z}}-d{{s}_{z}}+\cot \frac{\theta }{2}\left( {{t}_{x}}{{s}_{y}}-{{t}_{y}}{{s}_{x}} \right) \\ \end{matrix} \right]

螺距h为

                                                                         h=\frac{2\pi }{\theta }d

所以可以得到转换螺旋

                                            \$=\left({{s}^{T}};{{\left(r\timess+hs\right)}^{T}}\right)

                                               \text{=}\left({{\mathbf{s}}^{T}};{{\left(\frac{1}{2}\left(\mathbf{t}\times\mathbf{s}+\cot\left(\frac{\theta}{2}\right)\mathbf{s}\times\mathbf{t}\times\mathbf{s}\right)+\frac{2\pi}{\theta}\left(\mathbf{t}\cdot\mathbf{s}\right)\mathbf{s}\right)}^{T}}\right)

下面求运动螺旋

                                                                  \mathsf{\dot{\hat{q}}}=\mathsf{\dot{q}}+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\frac{1}{2}\left( {}^{1}\mathsf{\dot{t}}\circ \mathsf{q}+{}^{1}\mathsf{t}\circ \mathsf{\dot{q}} \right)

对于四元数表示的转动有

                                                                  \mathsf{\dot{q}}=\frac{1}{2}\mathsf{\omega }\circ \mathsf{q} ，故\mathsf{\omega }=2\mathsf{\dot{q}}\circ {{\mathsf{q}}^{*}}，

角速度为

                                                \left[ \begin{matrix} {{\omega }_{x}} \\ {{\omega }_{y}} \\ {{\omega }_{z}} \\ \end{matrix} \right]=2\left[ \begin{matrix} {{{\dot{x}}}_{0}} \\ {{{\dot{x}}}_{1}} \\ {{{\dot{x}}}_{2}} \\ {{{\dot{x}}}_{3}} \\ \end{matrix} \right]\circ \left[ \begin{matrix} {{x}_{0}} \\ -{{x}_{1}} \\ -{{x}_{2}} \\ -{{x}_{3}} \\ \end{matrix} \right]  =\left[ \begin{matrix} \begin{matrix} -2{{x}_{1}} & 2{{x}_{0}} & -2{{x}_{3}} & 2{{x}_{2}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -2{{x}_{2}} & 2{{x}_{3}} & 2{{x}_{0}} & -2{{x}_{1}} \\ \end{matrix} \\ \begin{matrix} -2{{x}_{3}} & -2{{x}_{2}} & 2{{x}_{1}} & 2{{x}_{0}} \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} {{{\dot{x}}}_{0}} \\ {{{\dot{x}}}_{1}} \\ {{{\dot{x}}}_{2}} \\ {{{\dot{x}}}_{3}} \\ \end{matrix} \right]

带入上式有

                                                                           \mathsf{\dot{\hat{q}}}=\frac{1}{2}{}^{1}\mathsf{\hat{\omega }}\circ \mathsf{\hat{q}}

故对偶角\mathsf{\hat{\theta }}=\theta +\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }p导数为

                                                                  {}^{1}\mathsf{\hat{\omega }}\text{=}{}^{1}\mathsf{\omega }+\text{ }\!\!\varepsilon\!\!\text{ }\left( {}^{1}\mathsf{\dot{t}}+{}^{1}\mathsf{t}\times {}^{1}\mathsf{\omega } \right)

即该对偶四元数的运动螺旋表示为

                                                                               \left( {}^{1}\mathsf{\omega }\text{ }{}^{1}\mathsf{\dot{t}}+{}^{1}\mathsf{t}\times {}^{1}\mathsf{\omega } \right)

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  • 探索数据变换：Transform在数据分析中的重要性 Lill_bin 杂谈数据分析数据挖掘数据库架构人工智能机器学习
    在数据分析和机器学习领域，数据变换（Transform）是一个至关重要的步骤，它直接影响到模型的性能和结果的准确性。本文将深入探讨数据变换的概念、方法以及它在现代数据分析中的应用。1.数据变换的定义数据变换是指将原始数据通过某种数学方法转换为另一种形式的过程。这种转换旨在提高数据的可解释性、降低噪声、增强特征的区分度，或是为了满足特定算法的预处理需求。2.常见的数据变换方法2.1标准化（Stand
  • 线性代数|机器学习-P33卷积神经网络ImageNet和卷积规则 取个名字真难呐 算法机器学习矩阵人工智能线性代数
    文章目录1.ImageNet2.卷积计算2.1两个多项式卷积2.2函数卷积2.3循环卷积3.周期循环矩阵和非周期循环矩阵4.循环卷积特征值4.1卷积计算的分解4.2运算量4.3二维卷积公式5.KroneckerProduct1.ImageNetImageNet的论文paper链接如下：详细请直接阅读相关论文即可通过网盘分享的文件：imagenet_cvpr09.pdf链接:https://pan.
  • Python的图形化界面编程 iteye_20668 Pythonpython
    2017.2.14好久没有写代码了，感觉过一个年弄的什么也没有干成，好像看了下c++,突然发现现在来看C++,要简单了好多，并且指针也没有那么难了，然后就是看了下机器学习，感觉有点小难，现在发现好多都涉及到高数，概率论和线性代数的知识，想想当初把这些学的是一塌糊涂。然后上次和胡杨大大聊天的时候，他说好多东西都是在实践中去学习的。好了，继续我的Python吧，Python的图形化界面编程。impor
  • matlab初等变换函数,线性代数实践及 MATLAB 入门(2005年10月) weixin_39861905 matlab初等变换函数
    出版时间：2005-10-1作者：陈怀琛，龚杰民编著出版社：电子工业出版社程序集名为dsk05，课件名bk05课件内容简介本书是根据“用软件工具提高线性代数教学”的指导思想，参照美国1992—1997国家科学基金项目ATLAST的思路，编写成的线性代数补充教材，其目的是补充我国现有教材的的缺陷。它分为两篇，第一篇介绍线性代数所用的软件工具MATLAB语言，它可以作为教材，也可以作为手册使用；第二篇
  • Enum用法 不懂事的小屁孩 enum
    以前的时候知道enum，但是真心不怎么用，在实际开发中，经常会用到以下代码: protected final static String XJ = "XJ"; protected final static String YHK = "YHK"; protected final static String PQ = "PQ";
  • 【Spark九十七】RDD API之aggregateByKey bit1129 spark
    1. aggregateByKey的运行机制   /** * Aggregate the values of each key, using given combine functions and a neutral "zero value". * This function can return a different result type
  • hive创建表是报错： Specified key was too long; max key length is 767 bytes daizj hive
    今天在hive客户端创建表时报错，具体操作如下   hive> create table test2(id string); FAILED: Execution Error, return code 1 from org.apache.hadoop.hive.ql.exec.DDLTask. MetaException(message:javax.jdo.JDODataSto
  • Map 与 JavaBean之间的转换 周凡杨 java自省转换反射
    最近项目里需要一个工具类，它的功能是传入一个Map后可以返回一个JavaBean对象。很喜欢写这样的Java服务，首先我想到的是要通过Java 的反射去实现匿名类的方法调用，这样才可以把Map里的值set 到JavaBean里。其实这里用Java的自省会更方便，下面两个方法就是一个通过反射，一个通过自省来实现本功能。 1：JavaBean类 1 &nb
  • java连接ftp下载 g21121 java
    有的时候需要用到java连接ftp服务器下载，上传一些操作，下面写了一个小例子。 /** ftp服务器地址 */ private String ftpHost; /** ftp服务器用户名 */ private String ftpName; /** ftp服务器密码 */ private String ftpPass; /** ftp根目录 */ private String f
  • web报表工具FineReport使用中遇到的常见报错及解决办法（二） 老A不折腾 finereportweb报表java报表总结
      抛砖引玉，希望大家能把自己整理的问题及解决方法晾出来，Mark一下，利人利己。   出现问题先搜一下文档上有没有，再看看度娘有没有，再看看论坛有没有。有报错要看日志。下面简单罗列下常见的问题，大多文档上都有提到的。   1、没有返回数据集： 在存储过程中的操作语句之前加上set nocount on 或者在数据集exec调用存储过程的前面加上这句。当S
  • linux 系统cpu 内存等信息查看 墙头上一根草 cpu内存liunx
    1 查看CPU 　　1.1 查看CPU个数 　　# cat /proc/cpuinfo | grep "physical id" | uniq | wc -l 　　2 　　**uniq命令：删除重复行;wc –l命令：统计行数** 　　1.2 查看CPU核数 　　# cat /proc/cpuinfo | grep "cpu cores" | u
  • Spring中的AOP aijuans springAOP
      Spring中的AOP Written by Tony Jiang @ 2012-1-18 （转）何为AOP AOP，面向切面编程。 在不改动代码的前提下，灵活的在现有代码的执行顺序前后，添加进新规机能。 来一个简单的Sample: 目标类： [java]  view plain copy print ? package&nb
  • placeholder(HTML 5) IE 兼容插件 alxw4616 JavaScriptjquery jQuery插件
    placeholder 这个属性被越来越频繁的使用. 但为做HTML 5 特性IE没能实现这东西. 以下的jQuery插件就是用来在IE上实现该属性的. /** * [placeholder(HTML 5) IE 实现.IE9以下通过测试.] * v 1.0 by oTwo 2014年7月31日 11:45:29 */ $.fn.placeholder = function
  • Object类,值域,泛型等总结(适合有基础的人看) 百合不是茶 泛型的继承和通配符变量的值域Object类转换
    java的作用域在编程的时候经常会遇到,而我经常会搞不清楚这个 问题,所以在家的这几天回忆一下过去不知道的每个小知识点   变量的值域;   package 基础; /** * 作用域的范围 * * @author Administrator * */ public class zuoyongyu { public static vo
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  • 开源中国OSC源创会记录 bijian1013 hadoopsparkMemSQL
    一.Strata+Hadoop World（SHW）大会         是全世界最大的大数据大会之一。SHW大会为各种技术提供了深度交流的机会，还会看到最领先的大数据技术、最广泛的应用场景、最有趣的用例教学以及最全面的大数据行业和趋势探讨。          二.Hadoop   &nbs
  • 【Java范型七】范型消除 bit1129 java
    范型是Java1.5引入的语言特性，它是编译时的一个语法现象，也就是说，对于一个类，不管是范型类还是非范型类，编译得到的字节码是一样的，差别仅在于通过范型这种语法来进行编译时的类型检查，在运行时是没有范型或者类型参数这个说法的。 范型跟反射刚好相反，反射是一种运行时行为，所以编译时不能访问的变量或者方法(比如private)，在运行时通过反射是可以访问的，也就是说，可见性也是一种编译时的行为，在
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    spark-sql是Spark bin目录下的一个可执行脚本，它的目的是通过这个脚本执行Hive的命令，即原来通过 hive>输入的指令可以通过spark-sql>输入的指令来完成。 spark-sql可以使用内置的Hive metadata-store，也可以使用已经独立安装的Hive的metadata store   关于Hive build into Spark
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    第一种：精确到秒的javascript倒计时代码      HTML代码:   <form name="form1">   <div align="center" align="middle"
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