数论 - Binary Vector - 2020牛客暑期多校训练营（第六场）

数论 - Binary Vector - 2020牛客暑期多校训练营（第六场）

题意：

$(题意真的读不懂)$

$随机n个n维01向量，询问这个n个向量线性无关的概率f_n。$

输入:

$T组测试数据，$

$每组包括一个正整数n。$

输出:

$输出正整数概率f_i(1\le i\le n)的异或值，即f_1⨁f_2⨁...⨁f_n。答案对10^9+7取模。$

示例1
输入

3
1
2
3

输出

500000004
194473671
861464136

说明

$$\begin{gathered} f(1)=\frac{1}{2} \\ f(2)=\frac{3}{8} \\ f(3)=\frac{21}{64} \end{gathered}$$

数据范围：

$1\le T\le 1000，1\le n\le 2\times 10^7$

---

分析:

$直接看样例猜公式：$

$$f_n=\frac{{\prod }_{i=1}^n(2^i-1)}{{\prod }_{i=1}^n{2}^i}$$

$看到本题n的范围，必然是要预处理出2\times 10^7内的f_n。$

$预处理时，若每次都按照公式，用快速幂计算f_n，时间复杂度为O(nlog(mod))，其中mod是模数，为10^9+7。$

$联想到求乘法逆元时，用递推优化到O(n)，因此，本题尝试递推出f_n与f_{n-1}的关系。$

$得到$
$$f_n=\frac{2^n-1}{2^n}{f}_{n-1}=f_{n-1}-\frac{f_{n-1}}{2^n}$$

$则：$

$$f_n\%mod=f_{n-1}\%mod-f_{n-1}\times (2^n{)}^{-1}\%mod，其中(2^n{)}^{-1}为2^n对mod取模的乘法逆元。$$

$此时我们发现，若要每次按照快速幂来求2^n的乘法逆元，时间复杂度仍然是O(nlog(mod))，$

$因此，我们再考虑通过递推的方式来求2^n的逆元。$

$得到：$

$$(2^n{)}^{-1}\%mod=(2^{n-1}{)}^{-1}\%mod\times (2{)}^{-1}\%mod$$

$这样，我们又能够在O(n)的时间复杂度内预处理出2^i(1\le i\le n)的乘法逆元。$

$最后我们预处理出前缀异或和数组：S_n=f_1⨁f_2⨁...⨁f_n即可。$

代码：

#include
#include
#include
#include
#include

#define ll long long

using namespace std;

const int N=2e7+10, mod=1e9+7;

int f[N],S[N];
int Pow_2[N];

int quick_pow(int a,int b,int mod)
{
    int res=1;
    while(b)
    {
        if(b&1) res=(ll)res*a%mod;
        a=(ll)a*a%mod;
        b>>=1;
    }
    return res;
}

void Init()
{
    Pow_2[1]=quick_pow(2,mod-2,mod);
    for(int i=2;i<=2e7;i++) Pow_2[i]=(ll)Pow_2[i-1]*Pow_2[1]%mod;
    
    f[1]=quick_pow(2,mod-2,mod);
    for(int i=2;i<=2e7;i++) f[i]=(f[i-1]-((ll)f[i-1]*Pow_2[i])%mod+mod)%mod;
    for(int i=1;i<=2e7;i++) S[i]=S[i-1]^f[i];
}

int main()
{  
    Init();
    int T,n;
    cin>>T;
    while(T--)
    {
        cin>>n;
        printf("%d\n",S[n]);
    }

    return 0;
}