李雅普诺夫稳定性理论

1892年，俄国学者李雅普诺夫提出的稳定性定理采用了状态向量来描述，适用于单变量，线性，非线性，定常，时变，多变量等系统。

目前，李雅普诺夫理论是证明非线性系统稳定性的重要理论依据，也是设计控制算法的重要方法之一。

这里介绍李雅普诺夫直接法（第二法）

基础知识

1、二次型定义及其表达式

形如

f(x,y)=ax2+2bxy+cy2

，每项的次数都是2。矩阵表示为：

V(x1,x2,⋯,xn)=[x1,x2,⋯,xn]⎡⎣⎢⎢⎢⎢p11,p21,⋯,pn1,p12,p22,⋯,pn2,…,…,⋯,…,p1np2n⋯pnn⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎡⎣⎢⎢⎢⎢x1x2⋮xn⎤⎦⎥⎥⎥⎥=xTPx

其中， P 为对称矩阵。

2、（二次型）V(x) 判据

（1）、 V(x) 正定的充分必要条件是矩阵 P 的所有主子式行列式为正。
（2）、若 P 是奇异矩阵，且它的所有主子式行列式均非负，则 V(x) 为半正定的。
（3）、如果矩阵 P 的奇数阶主子行列式为负值，偶数阶主子行列式为正值，则其为负定的。
（4）、若 P 正定，则对于任意 x≠0 , 总有 V(x)>0 。

3、任意 V(x) 判据

（1）、则对于任意 x≠0 , 总有 Q(x)=xTQx>0 ，则称 Q(x) 为正定函数。
（2）、则对于任意 x , 总有 Q(x)=xTQx≥0 ， 且存在 x≠0 ，使 Q(x)=0 ，则称 Q(x) 为半 正定函数。
（3）、若 −Q(x) 为（半）正定函数，则 Q(x) 为（半）负定函数

稳定性定理

一、稳定性定义

1、对系统 x˙=f(x,t) ,若任意给定一个实数 ϵ>0 ，总存在另一个实数 δ(ϵ,t0)>0 ，使当 初始条件 ||x（t0)||<δ 时，系统的状态 ||x（t）||<δ，∀t≥to , 则称系统的平衡状态 xs 是稳定的。否则，就是不稳定的。
2、一致稳定性
如果系统的平衡状态是稳定的，且 δ 与 t0 无关，（若任意给定一个实数 ϵ>0 ，总存在另一个实数 δ(ϵ)>0 ，使当 初始条件 ||x（t0)||<δ 时，系统的状态 ||x（t）||<δ，∀t≥to ），则该平衡状态是一致稳定的。
若定常系统的平衡状态是稳定的，则一定是一致稳定的。

3、渐近稳定性
若 xe 是系统的一个稳定点，对任意 t0 ，存在正常数
δ(t0)∈R+ ，当 x(t0)<δ ， 系统的状态收敛于0，即

limt→∞||x−xe||=0

则系统是渐进稳定的。

4、指数稳定性
对一个系统而言，如果存在正常数 α,λ∈R+ ，当初始位置在以原点为中心的球域范围内，即 x(t0)∈Br(o,r) 时，系统的状态 x(t) 具有以下的包络线:

||x(t)||≤||x(t0)||e−λ(t−t0)

,则称平衡点 xs=0 是指数稳定的，其中正常数 λ 称为指数收敛率。

二、稳定性定理

李雅普诺夫第二法是从能量的观点出发得来的。任何物理系统的运动都要消耗能量，并且能量总是大于零的。对于一个不受外部作用的系统，如果系统的能量，随系统的运动和时间的增长而连续地减小，一直到平衡状态为止，则系统的能量将减少到最小，那么这个系统是渐近稳定的。

1、局部稳定性定理
设 x=0 是系统的平衡点，如果对于球域 BR ，存在一个标量函数 V(x) ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数 V(x) 在球域 BR 上是正定的
（2）、若函数 V(x) 关于时间的导数在球域 BR 上是半负定的，则平衡点 x=0 是局部稳定的
（3）、若函数 V(x) 关于时间的导数在球域 BR 上是负定的，则平衡点 x=0 是局部渐近稳定的

2、全局稳定性定理

设 x=0 是系统的平衡点，存在一个标量函数 V(x) ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数 V(x) 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 ||x||→∞ 时， V(x)→∞ 。
（3）、若函数 V(x) 关于时间的导数是半负定的，则平衡点 x=0 是全局稳定的
（4）、若函数 V(x) 关于时间的导数是负定的，则平衡点 x=0 是全局渐近稳定的

3、全局指数稳定性定理
设 x=0 是系统的平衡点，存在一个标量函数 V(x) ，它具有一阶连续偏导数，且满足：
（1）、函数 V(x) 是正定的
（2）、 V(x) 正则，即当 ||x||→∞ 时， V(x)→∞ 。
（3）、若函数 V(x) 关于时间的导数是半负定的
（4）、存在两个正数 λ1 和 λ2 ，分别使得

V(x)≤λ1||x||2,V˙(x)≤λ2||x||2

则平衡点 x=0 是全局指数稳定的，指数收敛率为 λ1λ2