归并排序以及时间复杂度，稳定性分析

    在理解归并排序之前先要理解算法中一个非常重要的思想方法：分冶模式。

算法导论中分冶策略定义：将原问题划分为n个规模较小，与原问题结构相似的子问题；递归解决这些子问题，然后再合并其结果，就得到原问题的解。

分冶模式三大步骤：

1，分解：将原问题分解为规模较小的n个子问题；

2，解决：递归得解决个子问题，若子问题足够小，则直接求解；

3，合并：将子问题合并为原问题的解；

理解了分冶模式之后，再理解一个归并排序中利用到分冶模式的一个非要重要的步骤：合并排序；

合并排序三个基本步骤：

1，将待排序数组分解为各含n/2个元素的子数组；

2，将两个子数组排序好；

3，将已排序好的子数组合并，得到排序最后的结果；

由于算法导论中的伪代码翻译成的java代码太过啰嗦，这里我们提供一个比较好理解，没有用到哨兵元素的版本，其步骤都差不多；

合并排序代码（java版本）：

package sfdl2_1_4;


public class MergeSortion {

public static void merge(int[] arr,int p,int q,int r){
int[] help = new int[r-p+1];
int i = 0;
int p1 = p;
int p2 = q+1;
while(p1<=q&&p2<=r){
help[i++] = arr[p1] }
while(p1<=q){
help[i++] = arr[p1++];
}
while(p2<=r){
help[i++] = arr[p2++];
}
for(int j = 0;j arr[p+j] = help[j];
}
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,3,5,7,9,2,4,6,8,10};
merge(arr,0,4,9);
for(int i = 0;i System.out.print(arr[i]+" ");
}
}
}

以上为合并排序的代码，其主要的思想是，建立一个和待排序数组大小一样的辅助数组，将待排序的数组分为两个部分，然后再两个子数组中分别建立一个指针，每次比较子数组中指针所指位置的元素的大小，若元素较小，则将较小的元素复制至辅助数组中，然后指针前移一位，若有一个指针移动到了子数组的末尾，则将另外一个子数组的全部元素都复制至辅助数组中；

另：实现上述操作的前提是，分好的子数组有序；

合并排序涉及到n个元素的比较和移动，明显的时间复杂度为O(n);因为可以再比较的时候可以加上条件限制相同的元素是否移动，所以合并排序是具有稳定性的排序。

理解完了合并排序就可以很轻松的写出归并排序的代码了

归并排序代码：

package sfdl2_1_4;


public class MergeSortion {

public static void merge(int[] arr,int p,int q,int r){
int[] help = new int[r-p+1];
int i = 0;
int p1 = p;
int p2 = q+1;
while(p1<=q&&p2<=r){
help[i++] = arr[p1] }
while(p1<=q){
help[i++] = arr[p1++];
}
while(p2<=r){
help[i++] = arr[p2++];
}
for(int j = 0;j arr[p+j] = help[j];
}
}

public static void mergeSort(int[] arr,int p,int r){
int q = p+((r-p)>>2);
//base case
if(p>=r){
return;
}
mergeSort(arr,p,q);
mergeSort(arr,q+1,r);
merge(arr,p,q,r);
}

public static void mergeSort(int[] arr){
mergeSort(arr,0,arr.length-1);
}
public static void main(String[] args) {
int[] arr = {1,3,5,7,9,2,4,6,8,10};
mergeSort(arr);
for(int i = 0;i System.out.print(arr[i]+" ");
}
}
}

再归并排序的核心步骤中，正是上面已经写过的合并排序的代码；在这里我们只不过是利用了递归的思想，将数组每一次都分解为原来的一半大小的两个子数组，当分解到了右边界比左边界还大的时候，不再分解，开始排序。然后将排序好的子数组逐级合并，最后得到的结果就是排序好的数组；

归并排序时间复杂度分析（不用master定理推倒）：

原数组的长度为n，则细分得最大深度为log（n），每一层需要排序的元素为n；则归并排序的时间复杂度为O(nlog（n）)；

稳定性：因为交换元素时，可以在相等的情况下做出不移动的限制，所以归并排序是可以稳定的；