马拉车算法 Manacher + 例题： hihocoder #1032 最长回文子串

【马拉车Manacher算法】

引入：

计算字符串的最长回文字串，最朴素的算法就是枚举字符串的每一个子串，并判断这个子串是否为回文串，这个算法的时间复杂度为O(n^3)，显然无法令人满意。稍微优化的算法是枚举回文串的中点，这里要分为两种情况，一种是回文串长度是奇数的情况，另一种是回文串长度是偶数的情况。枚举中点再判断是否是回文串，这样能把算法的时间复杂度降为O(n^2)，但是当n比较大的时候仍然无法令人满意。而Manacher算法可以在O(n)时间复杂度内求出一个字符串的最长回文字串，达到了理论上的下界。

实现：

Manacher算法是基于中心扩散法，采用以空间换时间的思路，将求最长回文子串的复杂度降到O(n)的巧妙方法。

思路：为了将长度为奇数的回文串和长度为偶数的回文串一起考虑，在原字符串的每个相邻两个字符中间插入一个分隔符，同时在首尾也要添加一个分隔符，分隔符的要求是不在原串中出现。用一个数组Len[i]表示以字符S[i]为中心的最长回文字串的最右字符到S[i]的长度，比如以S[i]为中心的最长回文字串是S[l, r]，那么Len[i] = r - i + 1。Len数组有一个性质，那就是Len[i] - 1就是该回文子串在原字符串S中的长度。

Len数组的计算：

设right为以字符S[i]为中心的最长回文字串的最右字符的位置，令pos为字符S[i]的位置i，i从左往右匹配。

存在两种情况：①当i < right时，我们把以pos为对称中心的与i对称的点即 j = 2 * pos - i。如果以j为中心的最长回文串在以pos为中心的最长回文串里，根据对称性得到 Len[i] = Len[j]；如果以j为中心的最长回文串不在以pos为中心的最长回文串里，说明超出这个范围了，那么根据对称性得到Len[i] = right - i。综上所述，Len[i] = min(right - i, Len[j])。

②当i>=right时，说明以T[i]为中心的回文串一个都没有进行匹配，所以Len[i]=1，需要从头开始一个个往下匹配。

时间复杂度O(n)，空间复杂度O(n)。

【题目】

最长回文子串

【代码】

#include 
using namespace std;
const int maxn = 1e6 + 10;
char s[maxn];
char t[maxn<<1];
int Len[maxn<<1];
int len;
void init()
{
    int k=0;
    t[k++]='#';
    for(int i = 0; i < len; i++){
        t[k++] = s[i];
        t[k++] = '#';
    }
    len = k;
}

int Manacher()
{
    int sum = 0, right = 0, pos = 0;
    for(int i = 1; i < len; i++){
        if(i < right){
            Len[i] = min(right - i, Len[2 * pos - i]);
        }
        else{
            Len[i]=1;
        }
        while(t[i - Len[i]] == t[i + Len[i]]){
            Len[i]++;
        }
        if(Len[i] + i > right){
            right = Len[i] + i;
            pos = i;
            sum = max(sum, Len[i]);
        }
    }
    return sum - 1;
}
int main()
{
    int n; scanf("%d", &n);
    while(n--){
        scanf("%s", s);
        len = strlen(s);
        init();
        int ans = Manacher();
        printf("%d\n", ans);
    }
    return 0;
}