矩阵的终极分解-奇异值分解 SVD

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说到一个矩阵，怎么才算是真正掌握它？

一个完美分解的方法就是SVD分解。什么是SVD？全称是 singular Value Decomposition。奇异值分解。

把矩阵Am*n分解为一个三个矩阵相乘的形式，即A=U*∑*V',这三个矩阵是最简单的矩阵， Um*m是一个单位正交矩阵，Zm*n是一个对角阵，而 Vn*n是另一个正交单位矩阵；并且∑m*n作为对角矩阵，还是元素由大到小排列的。V'即V^T,表示V的转置。

 

 

 

（单位正交矩阵是非常简单的矩阵，U^T=U^-1，首先它的逆就等于其转置。其次，它的每一个列向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交，每一个行向量的长度等于1并且每两个行向量相互正交。）

那么有什么简单的方法可以求出U和V还有∑？证明如下：

 

因为sigma 是对角阵，设对角上的元素是K1，K2……Kn，则∑^2矩阵对角元素就是

∑元素的平方。

所以 A*A'=U*∑^2*U'，因为∑^2也是对角阵，这个形式就是对A*A'的特征向量分解，U就是A*A'特征向量矩阵，而∑^2就是该矩阵的特征值。

如果向量v与变换B满足Bv=λv，则称向量v是变换B的一个特征向量，λ是相应的特征值。这一等式被称作“特征值方程”。描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(B – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|B – λI|=0

从几何上来看，A乘以一个向量x，可以分为以下几步：

首先，x表示为任意一组正交基的线性组合，v1和v2是正交的，互相垂直。

先乘以V'表示将v1 v2变成标准正交基，再乘以∑表示对两个基不同程度的拉伸。

再乘以U表示拉伸后的旋转。

在此过程中，一组正交基乘以个正交矩阵的作用，仅仅是旋转了，向量幅度没变化，而乘以对角矩阵，则相当于每一个维度的基单独被伸长或者缩短了，但是向量的幅角没变。

简而言之：就是被旋转，拉伸不同倍数，在旋转。

这样可以更形象的理解一个向量，被矩阵A线性变换后的每一步到底做了什么，有什么意义。