判断素数的算法
测试素数的方式很多，本文将介绍一些算法，能尽快的判断一个给定的数字是否为素数。
判断给定数字n是否是素数，一个比较简单的方法就是：式除。试着用2,3,... 直到根号n去除n。显然，如果n是素数，则没有一个数能整除n。
一个比较好的改进是，只用2到根号n的素数做为除数，这样可以减少不少除法的次数，算法的代码可以表示为：
bool checkPrime (int n)
{
int max = static_cast
int i=2;
while (i<=max)
{
if (n%i == 0)
{
return false;
}
i++;
}
return true;
}
但是这个算法的特点是，它不仅能够判断n是否为素食，同时，如果n为合数，该算法还能给出这个合数的一个因子。但是这个算法的效率不高。我们有什么办法，在不找出因子的情况下，能够判断n是否为素数。
以下这个公式是一个几乎可行的判断方法：
an-1 = 1(mod n)
其中，a表示基数，是一个大于1的自然数。如果这个等式不满足，则可以肯定，n是个合数。如果这个等式满足，则n是一个素数，或者是伪素数。由此可见，这个算法存在一定的误差。我们先用几个数字试试看：
假设我取基数a等于2。等式可以写成：
2n-1 = 1(mod n)
将3带入，左边等于4，4 mod 3 ＝ 1，正好等于右边，所以3为素数。通过尝试，发现5，7，11，13都满足这个等式。看上取不错，因为这个计算过程要比之前提到的式除法简单多了，但是慢着，试试341，561，645，1105，你发现这个式子突然不灵了。341，561，645，1105这几个数字，虽然满足等式，但是都式合数，这四个数字就是基于2的伪素数。所以这个算法存在一定的误差。
很遗憾，即使选择其它基数（比如3，5），仍旧存在一些伪素数不能被检查出来。这些数字被称为Carmichael。其实Carmichael数很少，在小于100 000 000的数字中，Carmichael数只有255个。这个算法的代码如下：
bool checkPrime(int n,int a)
{
int t = pow(a,n-1);
if (t%(n)==1)
{
return true;
}
else
{
return false;
}
return false;
}
下面将介绍Miller－Rabin算法，来减少出错的概率。
Miller－Rabin算法的改进主要有一下两点：
1）使用随机选取多个基数，而不是只选取2
2）使用辅助过程，来判断是否为合数
witness的算法大致如下：
首先，将n-1写成2tu的形式。其中，u必须是奇数。比如：
n＝561 n-1 = 560 = 24*35
然后计算X0 ＝ a u mod n
循环，i从1到t，计算Xi ＝ X2i－1 mod n
如果Xi等于1，而且Xi－1不等于1而且Xi－1不等于n－1，则返回true，表示找到合数
当循环结束，Xt不等于1，则返回true，表示合数
否则，返回false，表示该数为素数。
现在大致介绍一下代码：
bool checkPrime(int n,int s)
{
int j;
for (j=1;j
{
int a=rand();
if (witness(a,n))
{
return false;
}
}
return true;
}
代码的结构很简单，参数s表示循环的次数，每次循环，都会随机得到一个值作为基数。然后调用witness验证是否为合数。
虽然Miller－Rabin的结果仍旧有可能产生误差，但是这个误差是可以接受的。该误差的存在概率很小，且这个误差的可能性并不依赖于n，而是取决于s的大小和随机数a的运气。总之，错误发生的概率很小。