详解统计信号处理之 克拉美罗界

各种研究领域（包括无线定位方向）都会碰到参数估计的问题，这时常常会看到克拉美罗界 (Cramér–Rao bound)  这个东西。很多随机信号的书都会介绍什么是克拉美罗界，但初学者学起来往往很吃力，本文从直观上简单讨论一下克拉美罗界的各个方面。

什么是参数估计问题

　　假设一种最简单的情况：

　　　　一个物理量为，我们使用某种方式去观测它，观测值为，由于存在噪声，此时，为高斯噪声，。

这种情况下，我们自然会直接使用观测值去估计，这时就会存在估计的误差，直观地理解，噪声的方差越大，估计就可能越不准确。

为什么要讨论克拉美罗界

　　讨论克拉美罗界就是为了使用这个标准来衡量无偏估计量的性能。

　　采用上面的方式，使用去估计，这个估计值会在真实值附近波动（看作随机变量）。我们需要使用一些标准来衡量这种估计的好坏，一个标准是估计值的平均，这里的这个估计量是无偏估计量。另一标准是这个估计值波动的剧烈程度，也就是方差。上面这个问题中，克拉美罗界就等于这个方差。

　　可是为什么不直接讨论方差而要去计算克拉美罗界呢，因为方差是针对某一种特定的估计量（或者理解为估计方式）而言的，在上面的例子中，方差是估计量的方差（）。对于稍微复杂一点点的问题，对的可以有各种不同的估计量，它们分别的方差是不同的。显然，对于无偏估计量而言，方差越小的估计方式性能越好，但是这个方差有一个下界，就是我们的克拉美罗界。

直观地理解克拉美罗界

　　克拉美罗界本身不关心具体的估计方式，只是去反映：利用已有信息所能估计参数的最好效果。

　　还是上面那个参数估计问题，当我们观察到的时候，我们可以知道真实值的概率密度分布是以为均值，为方差的正态分布，即:

　　　　　　　　　　　　　　　　　　

上图给出了两个似然函数的例子，直观地看，似然函数的“尖锐”性决定了我们估计位置参数的精度。这个“尖锐”性可以用对数似然函数峰值处的负的二阶导数来度量，即对数似然函数的曲率（对数似然函数就是在似然函数的基础山加一个自然对数，这样有利于计算）。计算过程我就不写了，有兴趣的可以自己算算，算完之后结果为：，是噪声的方差的倒数，也就是噪声越小，对数似然函数越尖锐。

　　所以，可以这样理解，似然函数的“尖锐”程度，或者，符合似然函数分布的这组数据的方差，就是克拉美罗界。

不同的估计量（估计方式）是什么意思

　　让我们来分析一个稍微复杂一点点的参数估计问题：

　　　　一个物理量为，我们使用某种方式去观测它，观测值为和，这是两个不同时刻的观测结果，一样的高斯噪声。

　　这种情况下，我们要估计，正常人可能会采用估计量，即前后两个观测的平均，也有人可能觉得这样计算量有点大，于是总是直接使用去估计，也有人觉得第二个观测值可能会受到系统影响而不准确，他更相信前面的观察值，于是总采取这样的估计量。这三个估计量都是无偏的：

　　估计量的方差为：

　　估计量的方差为：

　　估计量的方差为：

　　比较上面的三种估计量，第一种的方差最小，它的估计效果较好。实际上，如果第二个观测值真的不太准确，也就是后一个高斯噪声较大，这样的话也许第二个估计量就比较合适了。

　　因此，不同的考虑方式可以产生各种不同的估计算法，这些不同的估计量都是在真实值附近波动的随机变量(有的有偏，有的无偏)，它们分别的方差也是不一样的，但是数学家们证明了：任何无偏估计量的方差必定大于等于克拉美罗界。

 克拉美罗界的基本计算

　　我们假设这两次观察互相独立，仅受相同的高斯白噪声影响，那么根据已有的信息，真实值的似然函数为两个正态的概率密度分布相乘：（注意：pdf实际上应该再进行归一化处理，但是我们之后使用对数似然函数，乘不乘归一化系数都无所谓，对数之后变成了常数，求导的时候就没了）

与之前一样，可以计算出对数似然函数的二阶导数，得到结果为:。实际上，当观测数目为的时候，这个值将会是。也就是说，使用多个观测值的信息时，对数似然函数越“尖锐”。这个二阶导数（曲率）更一般的度量是(下面用来表示要估计的参数)：

它度量了对数似然函数的平均曲率（很多情况下曲率与的值有关，取数学期望使得它仅为的函数），被称为数据的Fisher信息，直观地理解，信息越多，下限越低，它具有信息测度的基本性质（非负的、独立观测的可加性）。一般来说，Fisher信息的倒数就是克拉美罗界了，任何无偏估计量的方差满足：

大多情况下，这个不等式的右边（克拉美罗界）是的函数。

克拉美罗界的标准定义

 　　（定理：Cramer-Rao下限----标量参数）

　　假定PDF 满足“正则”条件（对于所有的）：

其中数学期望是对 求取的。那么，任何无偏估计量的方差必定满足：

其中导数是在的真值处计算的，数学期望是对求取的。而且，对于某个函数和，当且仅当

时，对所有达到下限的无偏估计量就可以求得。这个估计量是，它是MVU估计量（最小方差无偏估计），最小方差是。

总结

　　估计一个参数，根据已有信息得到了似然函数（或者pdf），这个pdf的“尖锐”性，或者，符合似然函数分布的这组数据的方差，就是克拉美罗界，它可以通过对对数似然函数求二阶导再取倒数得到。克拉美罗界的计算不依赖具体的估计方式，它可以用来作为一个衡量估计方式好坏的标准，及估计量的方差越靠近克拉美罗界，效果越好。

 https://en.wikipedia.org/wiki/Cramér–Rao_bound

（注：本文主要参考《统计信号处理基础-估计与检测理论》-国外电子与通信教材系列）

 

在参数估计和统计中，Cramer-Rao界限（Cramer-Rao bound, CRB）或者Cramer-Rao下界（CRLB），表示一个确定性参数的估计的方差下界。命名是为了纪念Harald Cramer和Calyampudi Radhakrishna Rao。这个界限也称为Cramer-Rao不等式或者信息不等式。

它的最简单形式是：任何无偏估计的方差至少大于Fisher信息的倒数。一个达到了下界的无偏估计被称为完全高效的（fully efficient）。这样的估计达到了所有无偏估计中的最小均方误差（MSE，mean square error），因此是最小方差无偏（MVU，minimum variance unbiased）估计。

给定偏倚，Cramer-Rao界限还可以用于确定有偏估计的界限。在一些情况下，有偏估计方法的结果可能方差和均方差都小于无偏估计的Cramer-Rao下界。

标量情形

标量的无偏情形

假设 θ 是一个位置确定性参数。我们需要从观察变量 x 估计它。而它们满足一个概率密度函数 f(x;θ) 。任何 θ 的无偏估计 θ^ 的方差的下界为Fisher信息 I(θ) 的倒数： 

Varθ^≥1I(θ)

其中Fisher信息定义为 

I(θ)=E[(∂lnf(x;θ)∂θ)2]=−E[∂2lnf(x;θ)∂θ2]

其中 E 表示求期望。

无偏估计 θ^ 的效率描述估计的方差有多接近下限，定义为 

e(θ)=I(θ)−1Var(σ^)

显然有 

0≤e(σ^)≤1

标量的一般情形

更一般的情况是考虑参数 θ 的无偏估计 T(X) 。这里的无偏性理解为 E[T(X)]=ϕ(θ) 。这种情况下，方差的下界为 

Var(T)≥[ϕ′(θ)]2I(θ)

其中 ϕ′(θ) 表示 ϕ(θ) 关于 θ 的导数， I(θ) 仍然是Fisher信息。

有偏估计的界限

考虑估计 θ^ ，设其偏倚 b(θ)=E[θ^]−θ ，令 ϕ(θ)=b(θ)+θ 。利用上式，任何期望为 ϕ(θ) 的无偏估计的方差都大于等于 (ϕ′(θ)2)/I(θ)) 。于是 

Var(θ^)≥[1+b′(θ)]2I(θ)

当 b(θ)=0 ，上式退化为无偏估计得方差界限。当估计 θ^ 退化为常数（概率密度函数为脉冲函数），则方差退化为0。

从上式，利用标准分解可以推出有偏估计的均方误差下界为 

E[(θ^−θ)2]≥[1+b′(θ)]2I(θ)+b(θ)2

注意，如果 1+b′(θ)<1 ，那么上式右端的下界可能小于Cramer-Rao下界。例如，当 1+b′(θ)=nn+2<1 。

多元变量的情形

定义向量 θ=[θ1,θ2,⋯,θd]T∈Rd ，它的概率密度函数为 f(x;θ) 满足后面的两个正则化条件。Fisher信息矩阵是一个 d×d 的矩阵，元素 Im,k 定义为 

Im,k=E[∂∂θmlnf(x;θ)∂∂θklnf(x;θ)]=−E[∂2∂θm∂θklnf(x;θ)]

令 T(X) 为一个向量函数的估计， T(X)=(T1(X),T2(X),⋯,Td(X))T ，记它的期望向量 E[T(X)] 为 ϕ(θ) 。Cramer-Rao下界认为T(X)的协方差矩阵满足 

Covθ(T(X))≥∂ϕ(θ)∂θ[I(θ)]−1(∂ϕ(θ)∂θ)T

其中

• 矩阵大于等于符号 A≥B 表示 A−B 是一个半正定矩阵；
• ∂ϕ(θ)/∂θ 是雅克比矩阵，它的第 ij 个元素为 ∂ϕi(θ)/∂θj 。

当 T(X) 为 θ 的无偏估计（例如 T(θ)=θ ），则Cramer-Rao法则退化为 

Covθ(T(X))≥I(θ)−1

两个正则化条件

边界依赖两个关于 f(x;θ) 和 T(X) 的弱正则化条件：

• Fisher信息矩阵总是存在。等价地说，对于所有 x ，如果 f(x;θ)>0 ，则 ∂lnf(x;θ)/∂θ 存在并且有限。
• 对 x 的积分和对 θ 的微分可以交换顺序。也就是说，在下式右侧有限时，有 
  
  ∂∂θ[∫T(x)f(x;θ)dx]=∫T(x)[∂∂θf(x;θ)]dx

上述条件通常可以通过以下任意一个条件来确认：

1. 函数 f(x;θ) 在 x 中有边界支持，并且边界不依赖于 θ 。
2. 函数 f(x;θ) 有有限的支持，连续可微，并且对于所有 θ 积分收敛。

标量情形的证明

假设 T=t(X) 是一个 ϕ(θ) 的无偏估计，且 E(T)=ϕ(θ) 。目标是证明，对于所有 θ ， 

Var(t(X))≥[ϕ′(θ)]2I(θ)

令 X 为随机变量，且概率密度函数为 f(x;θ) .  T=t(X) 为统计量，且作为 ϕ(θ) 的估计。定义 V 为概率密度函数关于 θ 的偏导数 

V=∂∂θlnf(X;θ)=1f(X;θ)∂∂θf(X;θ)

可以发现， V 的概率密度函数也是 f(X;θ) 。利用第二个正则化条件，可以得到 V 的期望为0。即 

E(V)=∫f(x;θ)[1f(x;θ)∂∂θf(x;θ)]dx=∂∂θ[∫f(x;θ)dx]=0

因为 E(V)=0 ，由协方差定义式可以推出 Cov(V,T)=E(VT) 。展开可以得到 

Cov(V,T)= = = =E(T⋅[1f(X;θ)∂∂θf(X;θ)])∫t(x)[1f(x;θ)∂∂θf(x;θ)]f(x;θ)dx∂∂θ[∫t(x)f(x;θ)dx]ϕ′(θ)

由柯西-施瓦茨不等式可得 

Var(T)Var(V)−−−−−−−−−−−−√≥|Cov(V,T)|=|ϕ′(θ)|

因此 

Var(T)≥[ϕ′(θ)]2Var(V)=[ϕ′(θ)]2I(θ)

参考文献

https://en.wikipedia.org/wiki/Cram%C3%A9r%E2%80%93Rao_bound#Regularity_conditions

 

作者： rubbninja
出处： http://www.cnblogs.com/rubbninja/
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