HDU 6305 RMQ Similar Sequence（概率+单调栈）

Description

对于一个序列 A={a1,...,an} A = { a 1 , . . . , a n } ，记 RMQ(A,l,r) R M Q ( A , l , r ) 表示最小的 i i 使得 ai a i 是 al,...,ar a l , . . . , a r 中的最大值，给出序列 A A ，而序列 B={b1,...,bn} B = { b 1 , . . . , b n } 每个元素独立的从 [0,1] [ 0 , 1 ] 中等概率随机取值，问使得 RMQ(A,l,r)=RMQ(B,l,r),∀1≤l≤r≤n R M Q ( A , l , r ) = R M Q ( B , l , r ) , ∀ 1 ≤ l ≤ r ≤ n 的序列 B B 的元素和的期望值

Input

第一行一整数 T T 表示用例组数，每组用例输入一整数 n n 表示序列长度，之后输入 n n 个整数 ai a i 表示 A A 序列

(1≤n≤106,1≤ai≤n,∑n≤3⋅106) ( 1 ≤ n ≤ 10 6 , 1 ≤ a i ≤ n , ∑ n ≤ 3 ⋅ 10 6 )

Output

输出满足条件的 B B 序列的元素和的期望值，结果模 109+7 10 9 + 7

Sample Input

3
3
1 2 3
3
1 2 1
5
1 2 3 2 1

Sample Output

250000002
500000004
125000001

Solution

由于 B B 序列中两个数字相等的概率为 0 0 ，故可以认为 B B 中数字两两不同，继而将 B B 视作一个排列，由于 A,B A , B 是 RMQ−Similar R M Q − S i m i l a r 的，对于 A[i] A [ i ] ，假设其作为最大值的区间长度为 xi x i ，那么在 B B 中使得这 x x 个位置中 B[i] B [ i ] 是最大值的概率为 (xi−1)!xi!=1xi ( x i − 1 ) ! x i ! = 1 x i ，进而得到 B B 序列满足条件的概率为 ∏i=1n1xi ∏ i = 1 n 1 x i ，而 B B 的和的期望为 n2 n 2 ，故答案即为 n2∏i=1nxi n 2 ∏ i = 1 n x i

Code

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
#define maxn 1000005
#define mod 1000000007
int T,n,a[maxn],l[maxn],r[maxn],sta[maxn],p;
int inv[maxn];
int mul(int x,int y)
{
    ll z=1ll*x*y;
    return z-z/mod*mod; 
}
void init(int n=1e6)
{
    inv[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)inv[i]=mul(mod-mod/i,inv[mod%i]);
}
void monotonic_stack()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)l[i]=r[i]=i;
    p=0;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        if(!p||a[i]<=a[sta[p]])sta[++p]=i;
        else 
        {
            while(p&&a[i]>a[sta[p]])
                r[sta[p]]=i-1,p--;
            sta[++p]=i;
        }
    }
    while(p)r[sta[p]]=n,p--;
    for(int i=n;i>=1;i--)
    {
        if(!p||a[i]else 
        {
            while(p&&a[i]>=a[sta[p]])
                l[sta[p]]=i+1,p--;
            sta[++p]=i;
        }
    }
    while(p)l[sta[p]]=1,p--;
} 
int main()
{
    init();
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%d",&n);
        for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&a[i]);
        monotonic_stack();
        int ans=mul(n,inv[2]);
        for(int i=1;i<=n;i++)ans=mul(ans,inv[r[i]-l[i]+1]);
        printf("%d\n",ans); 
    }
    return 0;
}