JS算法之背包问题

背包问题是一个组合优化的问题，描述如下：给一个固定大小，能够携重W的背包以及一组有价值重量的物品，找出一个最佳的方案，使得装入包中的物品重量不超过W且总价值最大。

1、问题分析

数据：物品个数n=5,物品重量weights=[2，2，6，5，4],物品价值values=[6，3，5，4，6],背包总容量W=10。

我们设置一个矩阵f来记录结果：f(i.j)可表示可选的物品为{i.....n},背包容量为j(0

我们先看第一行，物品0的重量为2，价值为6，当容量为0时，什么也放不下，因此第一个格子只能填0，程序表示f(0,0)=0；当j=1时，依然放不下物品0，所以依旧为0，即f(0,1)=0;当j=2时，能放下物品0，则表示为f(0,2)=6,当j=3时，依旧能放下，则表示为f(0,3)=6，依次内推可得第一行的结果：

根据第一行，可以得到以下方程：

重量	价值	物品id	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
2	6	0	0	0	6	6	6	6	6	6	6	6	6
2	3	1	0	0	6	6	9	9	9	9	9	9	9
6	5	2	0	0	6	6	9	9	9	9	11	11	14
5	4	3	0	0	6	6	9	9	9	10	11	13	14
4	6	4	0	0	6	6	9	9	12	12	15	15	15

再看第二行，当j=0时，依旧什么都放不下，第一个格子填0，当j=1时，依旧如此，当j=2时，可以选择放不放如物品1：

如果不放入物品1，则背包中有物品0，最大价值为6,即f(0,j)

如果放入物品1，要算出背包放入1后还有多少的容量，然后再根据容量查出他的价值，再加上物品1的价值，即表示为

f(0,j-w(1)）+v(1),放与不放要通过比较来决定：

 

显然此处填6，当j=3时，情况相同，当j=4时，能同时放下，f(1,4)=9,当j>4时，背包只能放入物品0和1，所以最大价值为9；

再看第三行，当j=0、1，什么都放不下，当j=2时，虽然放不下物品2，但是表中可看出，背包的最大容量为6，当j=8时，背包可以放物品0、1，也可以物品0、2，和1、2，物品0、1的价值，可以看到为9，最优值为0/2，总价值为11，当j=10时，三个物品能装下，总价值为14；

整理方程可得到第1行和第2行的使用方程：

根据方程，计算各列得出结果，根还有0-1背包问题的最优方案，得到方程式：

代码如下：

function knapsack(weights, values, w){
    var n = weights.length -1;//获取物品个数
    var f=[[]];//定义f的矩阵
    for(var j=0;j<=w;j++){
        if(j