常用变换矩阵总结

前言

在软渲中需要各种变换的应用，这里列出了几种常见的变换矩阵。虽然并不一定要知道每一步的推导过程，但看一下推导过程对于这些变换可以有更好的理解和记忆。

变换矩阵

1. 平移变换 具体推导

⎡⎣⎢⎢⎢100dx010dy001dz0001⎤⎦⎥⎥⎥

2. 缩放 具体推导

⎡⎣⎢⎢⎢⎢Sx0000Sy0000Sz00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥

3. 绕任意轴旋转矩阵 具体推导

⎡⎣⎢⎢⎢⎢a2+(1−a2)cosθab(1−cosθ)−csinθac(1−cosθ)+bsinθ0ab(1−cosθ)+csinθb2+(1−b2)cosθbc(1−cosθ)−asinθ0ac(1−cosθ)−bsinθbc(1−cosθ)+asinθc2+(1−c2)cosθ00001⎤⎦⎥⎥⎥⎥

4.UVN相机变换矩阵 具体推导

⎡⎣⎢⎢⎢⎢UxUyUz−U⋅TVxVyUz−V⋅TNxNyNz−N⋅T0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥

5. 透视投影矩阵 具体推导

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2Nright−left00002Ntop−bottom00right+leftright−lefttop+bottomtop−bottoma−100b0⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

a=−F+NF−N

b=−2FNF−N

6.正交投影矩阵(投影面居中) 具体推导

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢2right−left00002top−bottom00001F−NnF−N0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

7. 视口变换矩阵 具体推导

⎡⎣⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢width200X+width20−height20Y+height200Zmax−ZminZmin0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

8. 镜面成像矩阵 推导见龙书第八章

⎡⎣⎢⎢⎢⎢−2nxnx+1−2nxny−2nxnz−2nxd−2nynx−2nyny+1−2nynz−2nyd−2nznx−2nzny−2nznz+1−2nzd0001⎤⎦⎥⎥⎥⎥

9. 平面阴影矩阵 推导见龙书第八章

⎡⎣⎢⎢⎢⎢nxLx+knyLxnyLxdLxnxLynyLy+knzLydLynxLznyLznzLz+kdLznxLwnyLwnzLwdLw+k⎤⎦⎥⎥⎥⎥