树状数组详解

 

 一、树状数组是干什么的？

       树状数组或者二叉索引树也称作Binary Indexed Tree，又叫做Fenwick树；它的查询和修改的时间复杂度都是log(n)，空间复杂度则为O(n)，这是因为树状数组通过将线性结构转化成树状结构，从而进行跳跃式扫描。通常使用在高效的计算数列的前缀和，区间和。

二、树状数组怎么干的？

 

在图中，a数组就是原数组，c数组则是树状数组，我们不难发现

C1 = A1
C2 = A1+A2
C3 = A3
C4 = A1+A2+A3+A4
C5 = A5
C6 = A5+A6
C7 = A7
C8 = A1+A2+A3+A4+A5+A6+A7+A8

       为了发现这些公式的规律，我们要先了解lowbit(k)函数，它就是把k的二进制的高位1全部清空，只留下最低位的1,例如10的二进制是1010,则lowbit(k)=lowbit(1010)=0010(2进制)，用代码实现为：lowbit(k)=k&-k，这是位运算，我们知道一个数加一个负号是把这个数的二进制取反+1，如-10的二进制就是-1010=0101+1=0110，然后用1010&0110，答案就是0010了！

       lowbit是用来联系a数组和c数组的！c[k]表示从a[k]开始往左连续求lowbit(k)个数的和，比如c[0110]=a[0110]+a[0101]，就是从110开始计算了2（lowbit(0110)=0010）个数的和。可以看到其实只有低位的1起作用（lowbit(k)函数的作用）。可以显然的得出c[0010]=a[0010]+a[0001]，注意0010这个数，除了高位其余位都是0，这时他本身本身就是lowbit，即k=lowbit(k)=k&-k。

        既然关系建立好了，那么如何实现A某一个位置数据更改？其实A数组不会直接改的，它每次更改其实都要通过维护C数组的性质来实现的，通常后面的求和要用到。比如我们更改了a[0011]，c3 = a3，c4 = a1+a2+a3+a4，c8 = a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7+a8，从关系式中不难看出。c[0011],c0100],c[1000]会随着a[0011]的改变而改变。（在程序中，数据的更改是由c数组体现的，而c数组的改变是由我们对c数组进行操作来实现的）。c改变的系数与a的系数，它们之间有什么必然联系或规律吗？仔细观察0011——>0100——>1000的变化，0011+0001=0100，1000=0100+0100，其满足关系式

k=k+lowbit(k)。

      不必考虑为什么非要展开成这种关系， 我们只需注意：c的构成性质（分组性质）：它决定了c[0011]只会直接影响c[0100]；而c[0100]只会直接影响c[1000]，单向影响的关系恰好满足k +=lowbit(k),下面就是更新维护树的代码：

void add(int k,int num)
{
	   while(k<=n)
	{
		tree[k]+=num;
		k+=k&-k;
	}
}

     区间和， 比如求a数组0001～0110的和，c4 = a1+a2+a3+a4，c6 = a5+a6。就是c[0100]+c[0110]。

int read(int k)//1~k的区间和
{
	int sum=0;
	while(k)
	{
		sum+=tree[k];	
		k-=k&-k;
	}
	return sum;
}

三、总结一下吧

          树状数组是按照二分对数组进行分组；维护和查询都是O(lgn)的复杂度，复杂度取决于最坏的情况，也是O(lgn);lowbit这里只是一个技巧，关键在于明白C数组的构成规律。