Least common multiple HDU - 3092题解

——挺综合的一道题，题目大意是给你一个数字N，让你切割成多个数字，求如何切割使得得到的数字的最小公倍数最大，首先得知道如何求最小公倍数：将s分割为a和b，则lcm(a,b)=a*b/gcd(a,b)。可知，如果gcd(a,b)>1则，lcm(a,b)至少要除以2，而如果a和b互质，则gcd为1，得到的结果最优。所以，最优的策略是将N分割成若干互质的数字，便可得到最大的最小公倍数。同时应知，1和任何自然数互质。两个不同的质数互质。一个质数和一个合数，这两个数不是倍数关系时互质。不含相同质因数的两个合数互质。对于一个质数x和其的任意倍数nx，其lcm为nx*x/x=nx，白白浪费了x这部分，所以对于一个质数和其倍数，只能选择一个，这就变成分组背包，一组只能选一个。
——由于lcm结果过大会溢出，题目要求的结果有取模，但如果在递推dp的过程中取模，在比较选择最优结果时就会出错，例如模数为m，上一次求出dp[k]=m+1，结果取模得1，下一次随便一个大于1得答案就会覆盖掉正确答案。但是不取模就会溢出，肯定也会造成答案错误。这里使用了取log来保存答案，dp改使用double类型的，原本选取了一个数字a，dp[j]=dp[j-a]*a,取log之后，因为log（ab）=loga+logb;所以变成了，dp[j]=dp[j-a]+log(a);然后用另一个数组储存取模之后得答案。

#include
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using namespace std;
int n, m;
int prim[1000];
bool noprim[3005];
double dp[3005];//质数相乘变成取对数后相加log(a*b)=loga+logb
int ans[3005];
int primnum = 0;
void init(){
    for (int i = 2; i <= 3000; i++){
        if (noprim[i] == 0){
            prim[primnum++] = i;
            for (int j = i*i; j <= 3000; j += i){
                noprim[j] = 1;
            }
        }
    }
}
int main(){
    init(); 
    while (~scanf("%d%d", &n, &m)){
        memset(dp, 0, sizeof(dp));
        for (int i = 0; i <= n; i++)ans[i] = 1;
        for (int i = 0; i < primnum&&prim[i] <= n; i++){
            double cnt = log(prim[i] * 1.0);
            for (int j = 3000; j >= prim[i]; j--){
                for (int k = 1, p = prim[i]; p <= j; p *= prim[i], k++){
                    if (dp[j - p] + cnt*k > dp[j]){
                        dp[j] = dp[j - p] + cnt*k;
                        ans[j] = ans[j - p] * p % m;
                    }
                }
            }
        }
        printf("%d\n", ans[n]);
    }
    return 0;
}