【AtCoder】【数学】1974 いろはちゃんとマス目 / Iroha and a Grid

AtCoder 1974 いろはちゃんとマス目 / Iroha and a Grid

题目

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题目大意

给定 H,W,A,B H , W , A , B ， H,W H , W 分别表示矩形的长宽， A,B A , B 表示位于左下角的 A×B A × B 的矩形不能通过，求从左上角到右下角的方案数，答案对 109+7 10 9 + 7 取模。

思路

暴力？？？仿佛不行。。。

Step1.杨辉三角？

我们举一个例子：

如一个 4×5 4 × 5 的矩形：

稍微操作一下就可以得到：

我们都知道，杨辉三角和组合数有关系。所以说，这东西不是组合计数吗？

Step2.组合计数

方法一：

去掉左下部分后，我们可以把这条路拆成两段计算：（i为断点）

第一段 s→i s → i ：

不难发现我们需要横着走 i−1 i − 1 步，竖着走 H−A−1 H − A − 1 步，所以说，该方案数为 Ci−1H−A+i−2 C H − A + i − 2 i − 1 或者 CH−A−1H−A+i−2 C H − A + i − 2 H − A − 1 。

第二段 i→t i → t ：

同样可知：我们需要横着走 W−i W − i 步，竖着走 A−1 A − 1 步，则可知该段方案数为 CW−iW−i+A−1 C W − i + A − 1 W − i 或者 CA−1W−i+A−1 C W − i + A − 1 A − 1 。

总方案数

根据乘法原理及加法原理可得，答案为：

∑i=b+1WCi−1H−A+i−2×CW−iW−i+A−1 ∑ i = b + 1 W C H − A + i − 2 i − 1 × C W − i + A − 1 W − i

方法二：

我们也可以逆向计算，即用总方案数减去不合法的方案数。

易得总方案数为 CH−1H+W−2 C H + W − 2 H − 1 ，我们就计算一下不合法的方案。

举个例子：

不难发现由 s→i s → i 的方案数为 CH−A−1H−A+i−2 C H − A + i − 2 H − A − 1 ，由 i→t i → t 的方案数为 CA−1A−1+W−i C A − 1 + W − i A − 1 。则可得出，由 s→i→t s → i → t 的方案总数为 CH−A−1H−A+i−2×CA−1A−1+W−i C H − A + i − 2 H − A − 1 × C A − 1 + W − i A − 1

而由于 i i 是可以在 1 1 到 B B 之间滑动的，所以，我们的答案就是：

CH−1H+W−2−∑i=1BCH−A−1H−A+i−2×CA−1A−1+W−i C H + W − 2 H − 1 − ∑ i = 1 B C H − A + i − 2 H − A − 1 × C A − 1 + W − i A − 1

Step3.逆元？？？

还有逆元这东西？？？

你难道没有发现题目中要求对 109+7 10 9 + 7 取模？？？

模运算没有

abmodm=amodmbmodm a b mod m = a mod m b mod m

这个等式！！！

而：

Cmn=n!m!(n−m)! C n m = n ! m ! ( n − m ) !

中有除法。（被安排了QAQ。。。）

还是太年轻了。。。

关于乘法逆元的使用及计算，请点这里。

我们都知道， 109+7 10 9 + 7 是一个“套路”质数

所以， n!m!(n−m)!mod109+7=n!⋅(m!)−1⋅[(n−m)!]−1 n ! m ! ( n − m ) ! mod 10 9 + 7 = n ! ⋅ ( m ! ) − 1 ⋅ [ ( n − m ) ! ] − 1 ，除法就成功地转化为了乘法。

正解代码

#include
#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int Mod=1e9+7;
const int Maxn=2*100000;
int H,W,A,B;
ll f[Maxn+10],inv[Maxn+10];
int N;
ll PowMod(ll a,int b) {
    ll ret=1;
    while(b) {
        if(b&1)ret=ret*a%Mod;
        a=a*a%Mod;
        b>>=1;
    }
    return ret;
}
void Init() {
    f[0]=1;
    for(int i=1;i<=N;i++)
        f[i]=f[i-1]*i%Mod;
    inv[0]=1;
    inv[N]=PowMod(f[N],Mod-2);
    for(int i=N-1;i>0;i--)
        inv[i]=inv[i+1]*(i+1)%Mod;
}
ll C(int a,int b) {
    if(a<0||b<0)return 1;
    return f[a]*inv[b]%Mod*inv[a-b]%Mod;
}
int main() {
    #ifdef LOACL
    freopen("in.txt","r",stdin);
    freopen("out.txt","w",stdout);
    #endif
    scanf("%d %d %d %d",&H,&W,&A,&B);
    N=H+W-2;
    Init();
    ll ans=C(H+W-2,H-1);
    for(ll i=1;i<=B;i++) {
        ans-=C(H-A+i-2,H-A-1)*C(A-1+W-i,A-1)%Mod;
        ans=(ans%Mod+Mod)%Mod;
    }
    printf("%lld",ans);
    return 0;
}