【信号与系统】系统复频域小测验
Author：AXYZdong
自动化专业 工科男
有一点思考，有一点想法，有一点理性！
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文章目录
- 题目
- 三、
- 四、
- 五、
- 总结
题目
三、
解：微分方程两边取拉氏变换，可得：
( s 2 + 5 s + 6 ) Y ( s ) − s y ( 0 − ) − y ′ ( 0 − ) − 5 y ( 0 − ) = ( 2 s + 10 ) F ( s ) (s^2+5s+6)Y(s)-sy(0_{-})-y'(0_{-})-5y(0_{-})=(2s+10)F(s) (s2+5s+6)Y(s)−sy(0−)−y′(0−)−5y(0−)=(2s+10)F(s)
整理：
Y ( s ) = s + 6 s 2 + 5 s + 6 + 2 s + 10 s 2 + 5 s + 6 ⋅ F ( s ) Y(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}+\frac{2s+10}{s^2+5s+6}\cdot F(s) Y(s)=s2+5s+6s+6+s2+5s+62s+10⋅F(s)
故： Y X ( s ) = s + 6 s 2 + 5 s + 6 = 4 s + 2 + − 3 s + 3 , Y f ( s ) = 2 s + 10 s 2 + 5 s + 6 = − 6 s + 2 + 2 s + 3 + 4 s + 1 Y_X(s)=\frac{s+6}{s^2+5s+6}=\frac{4}{s+2}+\frac{-3}{s+3},Y_f(s)=\frac{2s+10} {s^2+5s+6}=\frac{-6}{s+2}+\frac{2}{s+3}+\frac{4}{s+1} YX(s)=s2+5s+6s+6=s+24+s+3−3,Yf(s)=s2+5s+62s+10=s+2−6+s+32+s+14
零状态响应： y f ( t ) = ( 2 e − 3 t + 4 e − t − 6 e − 2 t ) ϵ ( t ) y_f(t)=(2e^{-3t}+4e^{-t}-6e^{-2t})\epsilon(t) yf(t)=(2e−3t+4e−t−6e−2t)ϵ(t)
零输入响应： y X ( t ) = ( 4 e − 2 t − 3 e − 3 t ) ϵ ( t ) y_X(t)=( 4e^{-2t}-3e^{-3t})\epsilon(t) yX(t)=(4e−2t−3e−3t)ϵ(t)
全响应： y ( t ) = ( − e − 3 t + 4 e − t − 2 e − 2 t ) ϵ ( t ) y(t)=(-e^{-3t}+4e^{-t}-2e^{-2t})\epsilon(t) y(t)=(−e−3t+4e−t−2e−2t)ϵ(t)
四、
（1） F ( s ) = s − 2 s ( s − 1 ) 2 F(s)=\frac{s-2}{s(s-1)^2} F(s)=s(s−1)2s−2
解：令： F ( s ) = k 11 ( s − 1 ) 2 + k 12 ( s − 1 ) + k 2 s F(s)=\frac{k_{11}}{(s-1)^2}+\frac{k_{12}}{(s-1) }+\frac{k_2}{s} F(s)=(s−1)2k11+(s−1)k12+sk2
令： F 1 ( s ) = ( s − 1 ) 2 F ( s ) = s − 2 s F_1(s)=(s-1)^2F(s)=\frac{s-2}{s} F1(s)=(s−1)2F(s)=ss−2
k 11 = F 1 ( s ) ∣ s = 1 = − 1 , k 12 = d d s F 1 ( s ) = s − ( s − 2 ) s 2 ∣ s = 1 = 2 , k 2 = s F ( s ) ∣ s = 0 = − 2 k_{11}=F_1(s)|_{s=1}=-1,k_{12}=\frac{d}{ds}F_1(s)=\frac{s-(s-2)}{s^2}|_{s=1}=2,k_2=sF(s)|_{s=0}=-2 k11=F1(s)∣s=1=−1,k12=dsdF1(s)=s2s−(s−2)∣s=1=2,k2=sF(s)∣s=0=−2
故： F ( s ) = − 1 ( s − 1 ) 2 + 2 ( s − 1 ) + − 2 s F(s)=\frac{-1}{(s-1)^2}+\frac{2}{(s-1) }+\frac{-2}{s} F(s)=(s−1)2−1+(s−1)2+s−2
F ( s ) F(s) F(s) 拉式反变换为 f ( t ) = ( − t e t + 2 e t − 2 ) ϵ ( t ) f(t)=(-te^t+2e^t-2)\epsilon(t) f(t)=(−tet+2et−2)ϵ(t)
（2） F ( s ) = 2 s + 1 s ( s + 2 ) ( s + 3 ) F(s)=\frac{2s+1}{s(s+2)(s+3)} F(s)=s(s+2)(s+3)2s+1
解：令： F ( s ) = k 1 s + k 2 s + 2 + k 3 s + 3 F(s)=\frac{k_1}{s}+\frac{k_2}{s+2}+\frac{k_3}{s+3} F(s)=sk1+s+2k2+s+3k3
k 1 = s F ( s ) ∣ s = 0 = 1 / 6 , k 2 = ( s + 2 ) F ( s ) ∣ s = − 2 = 3 / 2 , k 3 = ( s + 3 F ( s ) ∣ s = − 3 = − 5 / 3 k_1=sF(s)|_{s=0}=1/6,k_2=(s+2)F(s)|_{s=-2}=3/2,k_3=(s+3F(s)|_{s=-3}=-5/3 k1=sF(s)∣s=0=1/6,k2=(s+2)F(s)∣s=−2=3/2,k3=(s+3F(s)∣s=−3=−5/3
故： F ( s ) = 1 6 s + 3 2 ( s + 2 ) + − 5 3 ( s + 3 ) F(s)=\frac{ 1}{6s}+\frac{3}{2(s+2)}+\frac{-5}{3(s+3)} F(s)=6s1+2(s+2)3+3(s+3)−5
F ( s ) F(s) F(s) 拉式反变换为 f ( t ) = ( 1 6 + 3 2 e − 2 t − 5 3 e − 3 t ) ϵ ( t ) f(t)=( \frac{ 1}{6}+\frac{3}{2}e^{-2t}-\frac{5}{3}e^{-3t})\epsilon(t) f(t)=(61+23e−2t−35e−3t)ϵ(t)
五、
解：设左边加法器输出为： X ( s ) X(s) X(s)
则： X ( s ) = F ( s ) − 5 s − 1 X ( s ) − 4 s − 2 X ( s ) X(s)=F(s)-5s^{-1}X(s)-4s^{-2}X(s) X(s)=F(s)−5s−1X(s)−4s−2X(s)
Y ( s ) = X ( s ) + 4 s − 2 X ( s ) Y(s)=X(s)+4s^{-2}X(s) Y(s)=X(s)+4s−2X(s)
可得： X ( s ) = s 2 s 2 + 5 s + 4 F ( s ) X(s)=\frac{s^2}{s^2+5s+4}F(s) X(s)=s2+5s+4s2F(s)
Y ( s ) = s 2 + 4 s 2 + 5 s + 4 F ( s ) , 即 ： ( s 2 + 5 s + 4 ) Y ( s ) = ( s 2 + 4 ) F ( s ) Y(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}F(s),即：({s^2+5s+4})Y(s)=(s^2+4)F(s) Y(s)=s2+5s+4s2+4F(s),即：(s2+5s+4)Y(s)=(s2+4)F(s)
（1）微分方程： y ′ ′ ( t ) + 5 y ′ ( t ) + 4 y ( t ) = f ′ ′ ( t ) + 4 f ( t ) y''(t)+5y'(t)+4y(t)=f''(t)+4f(t) y′′(t)+5y′(t)+4y(t)=f′′(t)+4f(t)
（2）系统函数： H ( s ) = s 2 + 4 s 2 + 5 s + 4 H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4} H(s)=s2+5s+4s2+4
（3） H ( s ) = s 2 + 4 s 2 + 5 s + 4 = 1 + 5 3 ( s + 1 ) − 20 3 ( s + 4 ) H(s)=\frac{s^2+4}{s^2+5s+4}=1+\frac{5}{3(s+1)}-\frac{20}{3(s+4)} H(s)=s2+5s+4s2+4=1+3(s+1)5−3(s+4)20
h ( t ) = L − 1 [ H ( s ) ] = δ ( t ) + ( 5 3 e − t − 20 3 e − 4 t ) ϵ ( t ) h(t)=\mathcal{L^{-1}}[H(s)]=\delta(t)+(\frac{5}{3}e^{-t}-\frac{20}{3}e^{-4t})\epsilon(t) h(t)=L−1[H(s)]=δ(t)+(35e−t−320e−4t)ϵ(t)
总结
学习通考试60分钟没能做得完，还是练得少了，拿到题目不知如何下手，博客上重新写一遍，有点感觉了， p r a c t i s e practise practise m a k e s makes makes p e r f e c t perfect perfect ！！！不要眼高手低，多练，多练，多练！
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