算法设计复习（三）：最大流（最小切）问题

1.切（s-t cut）的定义：

最小切问题当然就是找到一个最小的s-t cut

2.流问题：

流是一些s到t的简单路径，满足两个条件：

1）路径中每条边的流量f(e)小于等于容量c(e)

2)路径中每个顶点（除了源点s与汇点t),流入的流量必须等于流出的流量

定义总流量：

3.对于任意s-t割（A，B），s-t流的值等于A的流出值减去A的流入值：

4.s-t flow 一定小于 s-t cut，证明：

很显然，如果一个流等于cap(A,B),它一定即是最大流，又是最小割

5.求解最大流：

1）贪心算法不适用

下图用贪心算法得到最大流是20，显然我们可以得到一个30的流

2）Ford-Fulkerson Algorithm

a.先找到一个s-t路径，对于该路径构造一个剩余图Gf：所有经过的边e，构造一条f(e)的反向边，和一条c(e)-f(e)的正向边，反向边的构造相当于如果这条路径是错误的，给了我们返回的机会

b.在Gf 中寻找新的简单路径，把每条路径的最小容量边容量称为bottleneck，每次经过正向边加上一次bottleneck,每经过一个反向边剪去一次bottleneck，可以证明每次找到新的路径总流量是增大的

c.构造新的剩余图，迭代上述操作，知道找不到增广路径后停止迭代

伪代码：

6.证明最大流等于最小切

通过以下三点等价来证：

I 存在一个切（A，B）和流f, 使cap(A,B) = v(f)

ii 这个流即是最大流

iii f不存在增广路径

7.寻找更好的增广路径（E-K算法）

在FF算法中，增广路径的选择无疑是十分重要的，好的选择可能只会用到多项式时间，不好的选择可能要用指数时间，甚至永远不会终止。

E-K算法原则：

从直觉来说，我们希望每次找到的都是bottleneck最大的增广路径，但是这是不必要的，因为寻找最大bottleneck也会耗费时间，我们只需要维持一个scaling parameter ,并找到剩余图的子图使每条边都容量大于这个参数。

只在子图中寻找增广路径，并逐渐减小scaling parameter,直到该值为1

伪代码：

E-K算法的时间复杂度：O（m^2*logc)