LeetCode 64. 最小路径和 | Python
文章目录
- 64. 最小路径和
- 题目
- 解题思路
- 状态定义
- 状态转移方程
- 状态初始化
- 代码实现
- 实现结果
- 欢迎关注
64. 最小路径和
题目来源：力扣（LeetCode）https://leetcode-cn.com/problems/minimum-path-sum
题目
给定一个包含非负整数的 m x n 网格，请找出一条从左上角到右下角的路径，使得路径上的数字总和为最小。
说明：每次只能向下或者向右移动一步。
示例:
输入:
[
[1,3,1],
[1,5,1],
[4,2,1]
]
输出: 7
解释: 因为路径 1→3→1→1→1 的总和最小。
解题思路
思路：动态规划
先审题，因为题目中说明【每次只能向下或者向右移动一步】。那么要到达终点，只能是从终点的上方或者左方到达。
状态定义
设 dp[i][j] 为左上角出发到达位置 (i, j) 的最小路径和
状态转移方程
前面提到，每次移动只能是向下或者向右。对于第一行元素而言（也就是 i = 0 时），只能是从左往右进行移动；对于每一列而言（也就是 j = 0 时），只能是从上往下移动。此时状态转移方程为：
d p [ 0 ] [ j ] = d p [ 0 ] [ j − 1 ] + g r i d [ 0 ] [ j ] , ( i = 0 a n d j > 0 ) d p [ i ] [ 0 ] = d p [ i − 1 ] [ 0 ] + g r i d [ i ] [ 0 ] , ( i > 0 a n d j = 0 ) \begin{aligned} dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j], \qquad (i = 0\; and\; j > 0) \\ dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0], \qquad (i > 0\; and\; j = 0) \end{aligned} dp[0][j]=dp[0][j−1]+grid[0][j],(i=0andj>0)dp[i][0]=dp[i−1][0]+grid[i][0],(i>0andj=0)
对于不在第一行第一列的元素，到达位置 (i, j) 只能是从左方向右移动到达或者上方向下移动到达，此时转移方程为：
d p [ i ] [ j ] = m i n ( d p [ i − 1 ] [ j ] , d p [ i ] [ j − 1 ] ) + g r i d [ i ] [ j ] , ( i > 0 a n d j > 0 ) \begin{aligned} dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j], \qquad (i > 0 \; and \; j > 0) \end{aligned} dp[i][j]=min(dp[i−1][j],dp[i][j−1])+grid[i][j],(i>0andj>0)
状态初始化
dp[0][0] 表示左上角到 (0, 0) 位置的最小路径和，也就是等于二维网格中当前元素的值。也就是：
d p [ 0 ] [ 0 ] = g r i d [ 0 ] [ 0 ] dp[0][0] = grid[0][0] dp[0][0]=grid[0][0]
最终需要求得 dp[m-1][n-1] 的值，表示从左上方到右下方的最小路径和。
具体的代码实现如下。
代码实现
class Solution:
def minPathSum(self, grid: List[List[int]]) -> int:
if not grid:
return 0
m = len(grid)
n = len(grid[0])
# 定义 dp 数组
dp = [[0] * (n) for _ in range(m)]
# 初始化
dp[0][0] = grid[0][0]
# 对第一行和第一列进行处理
for j in range(1, n):
dp[0][j] = dp[0][j-1] + grid[0][j]
for i in range(1, m):
dp[i][0] = dp[i-1][0] + grid[i][0]
for i in range(1, m):
for j in range(1, n):
dp[i][j] = min(dp[i-1][j], dp[i][j-1]) + grid[i][j]
return dp[-1][-1]
实现结果
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