【模板】矩阵树定理

参考题目：SPOJ HIGH

对了有一道假题目

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解析：

先明确几个定义。

对于一个图$G$，定义其度数矩阵为$D[G]$，为一个$n\ast n$的矩阵，满足当$i!=j$的时候，$d_{i,j}=0$，而大对角线上的元素$d_{i,i}$值为节点$v_i$的度数。

对于一个图$G$，定义其邻接矩阵为$A[G]$，为一个$n\ast n$的矩阵，满足元素$a_{i,j}$等于$v_i,v_j$之间直接连接的边数，也称为接数。

对于一个图$G$，定义其$Kirchoff$矩阵($C[G]$)如下，为一个$n\ast n$的矩阵，满足对于$\forall i,j$ $c_{i,j}=d_{i,j}-a_{i,j}$。

$KirchoffMatrix-Tree$定理内容描述如下。

对于一个图$G$，其生成树个数等于$det(C[G])$。其中$det$表示该矩阵行列式的值。

证明是个很妙妙的东西。
然而太长了不想写

那就主要讲一讲怎么$O(n^3)$求一个矩阵的行列式吧。

首先行列式的定义要补充一下。

一个$n\ast n$方阵$A$的行列式记为$det(A)$或$|A|$。

把一个元素$a_{i,j}$所在行列划去后（不是置为0，而是整行整列消去），剩余的矩阵的行列式称为元素$a_{i,j}$的余子式，记作$M_{i,j}$，而$A_{i,j}=(-1{)}^{j+i}{M}_{i,j}$称作$a_{i,j}$的代数余子式，而行列式的值定义如下$$det(A)=\sum a_{i,j}(-1{)}^{i+j}det(A_{i,j})$$

好的上面这个完全不说人话的表述方式你看懂了吗？

如果不懂。。。就去其他地方先学习一下吧，反正我觉得上面这个表述得挺清楚的。

于是行列式就有一些奇奇怪怪的性质。
比如一行（列），加上或减去另一行（列）每个元素的相同倍数，行列式的值不变。（证明可能什么时候才会补吧）

那么我们就可以利用高斯消元将当前矩阵消成一个上三角矩阵，那么就可以轻易求出行列式的值了。

其行列式的值就变成了对角线上的所有值之积。
证明很简单，因为这时候其他地方的积的式子中都含有至少一个元素为0，那么有贡献的就只剩下这条大对角线了。

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代码：

#include
using namespace std;
#define ll long long
#define re register
#define gc getchar
#define pc putchar
#define cs const

inline
int getint(){
	re int num=0;
	re char c;
	while(!isdigit(c=gc()));
	while(isdigit(c))num=(num<<1)+(num<<3)+(c^48),c=gc();
	return num;
}

double a[13][13];

inline
double gauss(int n){
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		int pos=i;
		for(int re j=i+1;j<=n;++j){
			if(fabs(a[j][i])>fabs(a[pos][i]))pos=j;
		}
		if(fabs(a[pos][i])<=1e-6)return 0;
		if(pos!=i)swap(a[pos],a[i]);
		for(int re j=i+1;j<=n;++j){
			double tmp=a[j][i]/a[i][i];
			for(int re k=1;k<=n;++k){
				a[j][k]-=a[i][k]*tmp;
			}
		}
	}
	double ret=1;
	for(int re i=1;i<=n;++i){
		ret*=a[i][i];
	}
	return fabs(ret);
}

signed main(){
	int T=getint();
	while(T--){
		int n=getint(),m=getint();
		memset(a,0,sizeof a);
		while(m--){
			int u=getint(),v=getint();
			a[u][u]+=1,a[v][v]+=1;
			a[u][v]-=1,a[v][u]-=1;
		}
		printf("%.0lf\n",gauss(n-1));
	}
	return 0;
}