机器学习时间序列之LMS和NLMS和RLS和APA

以下手稿属于Principe大佬，我是在硕士时期上的大佬的课

LMS

$$w_k=w_{k-1}+\eta x(n)e(n)$$
1.更新方向,梯度下降的方向。梯度和方向导数
2. 本例中， $w_k$ => $ϵx_k$

• 对比steepest descend 和 LMS

1. LMS 逐点更新
2. Steepest Descend期望估计更新
   

• 收敛条件
  

对于本主题，时间序列，时间平稳序列下，LMS效果快且不错。

但是如果是非平稳呢？
我们可以消除平稳的噪音，LMS就会追踪到不平稳的起伏的声音信号：比如人声。

因为，LMS容易最小化平稳信号的误差,可以学到一组权重很好的表征平稳信号，但是一但非平稳，LMS在这个点的误差会突增，你就可以看到weight tracking 过程了。

1. LMS的问题

1. 如果，自相关矩阵的特征值差值大，那么就会收敛慢
2. 随机梯度下降，会被噪声影响
3. 起伏过大
4. 依赖输入信号，对信号的信号功率敏感(对比NLMS)
5. learning rate需要很小，参考数据的自相关矩阵的特征值分散程度

NLMS

$$w_k=w_{k-1}+\frac{\eta }{||x(n)|{|}^2}x(n)e(n)$$

1. 目的： 找到更新步长，使得w更新变化小并且依旧能够收敛
2. 对$\eta$要求不高，设置0.1足够，因为自适应调整学习率的更新步伐
3. 稳定
   

RLS

1. 首先，牛顿法直接指向最小值！
2. 但是直接计算梯度的期望，费事费力，参考LMS/Newton
3. 保证每一步都是最佳更新
4. 充分利用了数据信息（R矩阵）

• LMS/Newton的需求
  

6. 问题又来了，$R^{-1}$矩阵怎么计算？如果引入记忆框架呢memory structure（指数框）
   一种方法是：recursively 计算
   
   推导如下：
   
   然后加了指数记忆window后，
   $${ϵ}_{k+1}=\sum _{l=0}^k{\alpha }^{k-l}(d_l-w_l^T{x}_l{)}^2$$
   
   

RLS算法总结

1. 每个点进来，和过去的M-1个数据形成向量$x_k$
2. $R_k=\sum x_k\cdot x_k^T$
3. 总之就是不停更新自相关矩阵$R_k$($M\times M$),M is order,即参考过去多少个点。
4. $w_k^{opt}=R_k^{-1}{P}_k$更新迭代
   

APA

1. 对于多维输入的一个数据点$\mathbf{u}$，可以计算它的自相关矩阵（这是对于整个数据集自相关矩阵的近似），然后得到当前最佳的${\mathbf{w}}_{opt}$, 这种做法便是LMS版本。
2. APA,考虑为何不用多个样本点近似R矩阵？
   RLS 需要从0迭代到当前，才能得到当前的最佳近似，也就是考虑过去所有数据。收敛最快！但是复杂度高于APA和LMS。APA可以减少梯度噪声，优于LMS。

APA	RLS
考虑过去的M个点构成的平面输入矩阵U	需要利用过去所有迭代
复杂度较低	复杂度较高

$$Complexity:LMS<APA<RLS$$

附录：

为什么牛顿法能够更准？
因为牛顿法考虑了二阶导Hessian矩阵，对于咱们的数据矩阵X来说，他的自相关矩阵就是Hessian矩阵！
因此如下跟新权重：
$$w_{k+1}=w_k-\eta H^{-1}\nabla J(w)$$

参考