【模板】乘法逆元

如果 ax≡1(modb) a x ≡ 1 ( mod b ) 且 (a,b)=1 ( a , b ) = 1 ，则称 x x 是模 b b 意义下的 a a 的逆元，记为 a−1 a − 1 。

逆元可以用来在计算 tamodb t a mod b 时，转化为 ta−1modb t a − 1 mod b 。

Algorithm A l g o r i t h m

根据逆元的定义，可以转化为 ax+by=1 a x + b y = 1 ，用拓展欧几里得算法求解。

Code1 C o d e 1

\\求解单个数在模意义下的逆元（exgcd）
void Exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return;
    }
    Exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}
int Mod_Inverse(int a, int p) {
    int x, y;
    Exgcd(a, p, x, y);
    return (x + p) % p;
}

Code2 C o d e 2

int Exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (a == 0 && b == 0) return -1;
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return a;
    }
    int value = Exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
    return value;
}
int Mod_Inverse(int a, int p) {
    int x, y, value = Exgcd(a, p, x, y);
    return value == 1 ? (x + p) % p : -1;
}

特殊地，当 b b 是个素数时，由费马小定理，可得 ab−1≡1(modb) a b − 1 ≡ 1 ( mod b ) ,则 a−1≡ab−2(modb) a − 1 ≡ a b − 2 ( mod b ) ，使用快速幂计算即可。

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接下来讲线性算法求解给定 n n , p p 求 1 1 ~ n n 中所有整数在模 p p 意义下的乘法逆元。

Algorithm1 A l g o r i t h m 1

我们令 f(i)=i! f ( i ) = i ! , g(i)=(i!)−1 g ( i ) = ( i ! ) − 1 。

很明显， f(i)=(i−1)!∗i=f(i−1)∗i f ( i ) = ( i − 1 ) ! ∗ i = f ( i − 1 ) ∗ i ， g(i)=((i+1)!)−1∗(i+1)=g(i+1)∗(i+1) g ( i ) = ( ( i + 1 ) ! ) − 1 ∗ ( i + 1 ) = g ( i + 1 ) ∗ ( i + 1 ) 。

这样，我们顺推出 f f 数组，再逆推出 g g 数组，那么 i−1=i!∗((i−1)!)−1=f(i)∗g(i−1) i − 1 = i ! ∗ ( ( i − 1 ) ! ) − 1 = f ( i ) ∗ g ( i − 1 ) 。

所有等式均在模 p p 意义下进行。

Code1 C o d e 1

#include
#include
#include
#include
#define MAXN 3000010
long long f[MAXN], g[MAXN];
void Exgcd(int a, int b, int& x, int& y) {
    if (b == 0) {
        x = 1; y = 0;
        return;
    }
    Exgcd(b, a % b, y, x);
    y -= a / b * x;
}
int Mod_Reverse(int a, int p) {
    int x, y;
    Exgcd(a, p, x, y);
    return (x + p) % p;
}
int main() {
    int n, p;
    scanf("%d%d", &n, &p);
    f[0] = 1;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        f[i] = (f[i - 1] * i + p) % p;
    g[n] = Mod_Reverse(f[n], p); //p是质数的话可以直接快速幂
    for (int i = n - 1; i >= 1; i--) 
        g[i] = (g[i + 1] * (i + 1) + p) % p;
    for (int i = 1; i <= n; i++)
        printf("%lld\n", (f[i - 1] * g[i] + p) % p);
    return 0;
}

Algorithm2 A l g o r i t h m 2

首先

1−1≡1(modp) 1 − 1 ≡ 1 ( mod p )

。

我们设 p=k∗i+r p = k ∗ i + r ,且 1<r<i<p 1 < r < i < p ，那么这个式子在模 p p 意义下就会得到 k∗i+r≡0(modm) k ∗ i + r ≡ 0 ( mod m ) ，两边同乘以 i−1,r−1 i − 1 , r − 1 可得：

k∗r−1+i−1i−1i−1i−1≡≡≡≡0−k∗r−1−[pi]∗(pmodi)−1(p−[pi])∗(pmodi)−1(modp)(modp)(modp)(modp) k ∗ r − 1 + i − 1 ≡ 0 ( mod p ) i − 1 ≡ − k ∗ r − 1 ( mod p ) i − 1 ≡ − [ p i ] ∗ ( p mod i ) − 1 ( mod p ) i − 1 ≡ ( p − [ p i ] ) ∗ ( p mod i ) − 1 ( mod p )

由此我们就可以从前面推出当前的逆元了。

Code2 C o d e 2

#include
#include
#include
#include
#define MAXN 3000005
long long inv[MAXN];
int main() {
    int n, p;
    scanf("%d%d", &n, &p);
    inv[1] = 1;
    puts("1");
    for (int i = 2; i <= n; i++) {
        inv[i] = (p - p / i) * inv[p % i] % p; 
        printf("%lld\n", inv[i]);
    }
    return 0;
}