从高斯消元到矩阵树定理

从高斯消元到矩阵树定理

1. 高斯消元

1. 前置技能，枚举主元法的高斯消元，即消第n个元的时候，每次选出绝对值最大一个方程对其他的进行消元。

2. 但是常见的高斯消元模板并不能很好的解决，哪些元是变元以及哪些是确定解的问题。

3. 假设方程有$n$个未知数，$m$个方程，那么我们在高斯消元的同时记录一个变量$now$，表示使用了$now$个方程，注意考虑到第$now$个方程发现第$i$个变元可能无解，这时$now$不++，因为它可能还有用。

4. 如果使用的方程数小于未知变量数，说明可能无解或者存在自由元。

5. 判断无解即变量用完了方程没用完 ，这是看剩下的方程存不存在$0x=k(k!=0)$

6. 判断一个变量是不是自由元，其实这个时候能解的一步就可以解出来，判断一下这一行是否有能解出来的即可。

7. 代码如下

   #include
   #include
   #include
   #include
   #define maxn 405
   using namespace std;
   
   double eps=1e-7;
   double myabs(double now)
   {
   	return now>0.0 ? now : -now;
   }
   int n,m;// n个方程m个未知数 
   int vis[maxn];
   double ans[maxn];
   double a[maxn][maxn];
   int gauss()
   {
   	int now=1;//考虑到了第now个方程了 
   	for(int i=1;i<=n && now<=m;i++,now++)
   	{
   		int row=now;
   		for(int j=now+1;j<=m;j++)
   			if(myabs(a[j][i])>myabs(a[row][i]))
   				row=j;
   				
   		if(myabs(a[row][i])<=eps) 
   		{
   			now--;//这里是因为第i个变量可能解不出来了，但是第now个方程依然可能有用 
   			continue;
   		}
   		
   		if(row!=i)
   			for(int j=1;j<=n+1;j++)
   				swap(a[i][j],a[row][j]);
   		
   				
   		for(int j=1;j<=m;j++)//全消了
   		if(myabs(a[j][i])>eps && j!=now) 
   		{
   			double temp=a[j][i]/a[now][i];
   			for(int k=i;k<=n+1;k++)
   				a[j][k]-=temp*a[now][k];
   		}
   	}
   	
   	//考虑无解 
   	for(int i=now;i<=m;i++)
   	{
   		if(myabs(a[i][n+1])>eps)
   		{
   			return 0;
   		}
   	}
   	
   	if(now<=n)//用了的方程少于变元数 
   	{
   		for(int i=1;i<=now-1;i++)
   		{
   			int cnt=0,pos=0;
   			for(int j=1;j<=n;j++)
   			if(myabs(a[i][j])>eps && !vis[j])
   			{
   				cnt++;
   				pos=j;
   			} 
   			if(cnt>1) continue;
   			
   			ans[pos]=a[i][n+1];
   			for(int j=1;j<=n;j++)
   			{
   				if(j!=pos && myabs(a[j][i])>1e-6)
   				{
   					ans[pos]-=a[i][j]*ans[j];
   				}
   			}
   			ans[pos]=ans[pos]/a[i][pos];
   			vis[pos]=1;
   		}
   	}
   	else
   	{
   		for(int i=1;i<=n;i++)
   			ans[i]=a[i][n+1]/a[i][i],vis[i]=1;
   	} 
   	return 1;
   }
   
   int main()
   {
   	scanf("%d",&n); m=n;
   	
   	for(int i=1;i<=m;i++)
   		for(int j=1;j<=n+1;j++)
   			scanf("%lf",&a[i][j]);
   			
   	if(!gauss()) 
   	{
   		printf("No Solution\n");
   		return 0;
   	}
   	
   	for(int i=1;i<=n;i++)
   	{
   		if(!vis[i])
   		{
   			 printf("%d not determined\n",i);
   		}
   		else
   		{
   			printf("%.2lf\n",ans[i]);
   		}
   	}
   }
   

2.矩阵的逆

1. 学过高等代数的人都知道，给原矩阵右边添上一个单位矩阵，将原矩阵高斯消元为单位矩阵，右边的矩阵即为原矩阵的逆。

3.行列式及特殊矩阵行列式求法

1. 学过高等代数的人都知道，将矩阵用线性变换的方法化成对角矩阵之后，对角线元素相乘，即为行列式。但是是用高斯消元的时候会交换两行，这样的话会使得行列式的值乘$-1$，记录一下即可。

2. 行列式可以按行展开，公式为${\sum }_{j=1}^m(-1^{i+j})\ast A_{i,j},A_{i,j}为去掉第i行第j列的行列式$

3. 特殊矩阵行列式求法

   1. 利用范德蒙行列式$D_n={\prod }_{i<j}(x_j-x_i)$
      $$D_n=\left|\begin{array}{ccccc}1& 1& \cdots & 1& \\ x_1& x_2& \cdots & x_n& \\ x_1^2& x_2^2& \cdots & x_n^2& \\ \cdots & \cdots & \cdots & \cdots & \\ x_1^{n-1}& x_2^{n-1}& \cdots & x_n^{n-1}& \end{array}\right|$$

   2. 三对角行列式，直接展开得到递推关系$D_n=\{\begin{array}{cc}(n+1)a^n,& a=b\\ \frac{a^{n+1}-b^{n+1}}{a-b},& a\ne b\end{array}$
      $$D_n=\left|\begin{array}{cccccc}a+b& ab& & & & \\ 1& a+b& ab& & & \\ & & \cdots & \cdots & & \\ & & & 1& a+b& ab\\ & & & & 1& a+b\end{array}\right|$$

   3. 箭型行列式，即只有两条边和对角线上有值的行列式。把第$i$列加到第1行，把第1列的第i行消成0。

   4. 除对角线外其他元素相等，或其他元素按行成比例，用第一行乘比例系数去减其他行。

   5. 两条线带几个点的行列式，直接展开递推即可。

4.矩阵树定理

1. 矩阵树定理主要求解三类问题，给无向图求生成树数量，给有向图和一个点求以这个点为根的内向树和外向树的数量。
2. 一般需要构造两个矩阵$S_1,S_2$分别为联通矩阵和度数矩阵。
3. 构造方法：
   1. 给无向图求生成树数量，$S_1(i,j)$为$i$与$j$之间的边数，$S_2(i,i)$为第$i$个点的度数
   2. 以一个点为根的内向树，$S_2(i,j)$为$i$到$j$之间的边数，$S_2(i,i)$为第$i$个点的入度
   3. 以一个点为根的外向树，$S_2(i,j)$为$i$到$j$之间的边数，$S_2(i,i)$为第$i$个点的出度
4. 求解方法：先得到矩阵$T=S_2-S_1$
   1. 给无向图求生成树数量，任意删去一行一列(一般为最后一行一列)，求行列式
   2. 以一个点为根的内向树，删去给定点所在行所在列，求行列式
   3. 以一个点为根的外向树，删去给定点所在行所在列，求行列式