从暴力匹配到KMP算法

现在有两个字符串：s1和s2，现在要你输出s2在s1当中每一次出现的位置，你会怎么做？


一、暴力匹配算法
1.1 基本思路
用两个指针分别指向当前匹配到的位置，并对当前状态进行分类讨论：若相同则继续往下匹配，否则回溯

1.2 大致思路
用i来存储s1当前匹配到的位置，用j来存储s2当前匹配到的位置，则可得初始状态下i=j=0
对于当前状态，有两种可能性：
①：s1[i]==s2[j]。则i++，j++
②：s1[i]!=s2[j]。则i-=(j-1)，j=0

1.3 评价
时间复杂度：O(n^m)。显然，这个方法效率并不高，每一次回溯要耗去大量时间，能不能进行优化呢？


二、KMP算法
1.1 简介

KMP算法是对暴力匹配算法的改进，由D.E.Knuth，J.H.Morris和V.R.Pratt同时发现，因此人们称它为Knuth-Morris-Pratt算法（简称KMP算法）。

1.2 基本思路

KMP算法的关键是利用匹配失败后的信息，尽量减少模式串与主串的匹配次数以达到快速匹配的目的。具体实现就是实现一个Next[]函数，函数本身包含了模式串的局部匹配信息。

1.3 大致思路
还是用i来存储s1当前匹配到的位置，用j来存储s2当前匹配到的位置，则可得初始状态下i=j=0
对于当前状态，有两种可能性：
①：s1[i]==s2[j]。则i++，j++
②：s1[i]!=s2[j]。则j=Next[j]（i不变）
其中Next[]数组存储的是当前这一位的部分匹配值（这在后面会详细介绍），所以只要让j变成Next[j]，就可以继续对当前字符串进行匹配了，省去了i回溯所耗去的大量时间

1.4 Next[]数组
在匹配过程中，你可以发现一个基本事实是：当s1[i]与s2[j]不匹配时，你其实知道前面j-1字符是什么。KMP算法的想法是，设法利用这个已知信息，不要把"搜索位置"移回已经比较过的位置，继续把它向后移，这样就提高了效率。
所以，我们就可以把当前所得到的部分匹配值给求出来。又由于对于同一个字符串，部分匹配值是固定不变的，所以可以把它存在Next[]数组里。
那么Next[]数组怎么求呢？有人说过，求Next[]数组的过程就是一个KMP的过程。
首先，令i=0，j=-1，Next[0]=-1，且当前要求的是Next[i+1]。则对于当前状态，有两种可能性：
①j==-1或s2[i]==s2[j]。则i++，j++，Next[i]=j
②j!=-1且s2[i]!=s2[j]。则j=Next[j]//把j赋值为j的部分匹配值
这样就可以轻松求出Next[]数组了

1.5 代码

 

#include
#define N 1000000
#define pc(ch) (pp_<100000?pp[pp_++]=ch:(fwrite(pp,1,100000,stdout),pp[(pp_=0)++]=ch))
int pp_=0;char pp[100000];
using namespace std;
int len1,len2,Next[N+5];//len1存储s1的长度，len2存储s2的长度，这样不用调用strlen()，strlen()会超时；Next[]存储部分匹配值 
char s1[N+5],s2[N+5];
inline void write(int x)
{
    if(x>9) write(x/10);
    pc(x%10+'0');
}
inline void GetNext()//求出Next[]数组 
{
	register int i=0,j=Next[0]=-1;//初始化 
	while(i<=len2)//类似于一个KMP的过程 
	{
		if(j==-1||s2[i]==s2[j]) i++,j++,Next[i]=j;
		else j=Next[j];
	}
}
int main()
{
	register int i=0,j=0;
	scanf("%s%s",s1,s2),len1=strlen(s1),len2=strlen(s2),GetNext(); 
	while(i<=len1)//KMP的过程 
	{
		if(j==-1||s1[i]==s2[j]) {++i;if(++j==len2) write(i-len2+1),pc('\n'),j=Next[j];/*如果找到答案就输出*/} 
		else j=Next[j];//如果匹配失败，就更新j为其部分匹配值 
	}    
	for(i=1;i<=len2;++i) write(Next[i]),pc(' ');//依照题意输出Next[]数组 
	return fwrite(pp,1,pp_,stdout),0;
}