[牛客算法系列] BFPRT算法

BFPRT算法O(n)解决第k小的数

我们通常会简单地进行一个快速排序后，得到第k个位置上的数字即可。
我们都知道的是快速排序是个不稳定的排序，它的排序过程简单的理解主要是两个概念Partion,pivot(基准数)

一趟快速排序的过程如下

1. 先从序列中选取一个数作为基准数
2. 将比这个数大的数全部放到它的右边，把小于或者等于它的数全部放到它的左边

一趟快速排序也叫做Partion，即将序列划分为两部分，一部分比基准数小，另一部分比基准数大，然后
再进行分治过程，因为每一次Partion不一定都能保证划分得很均匀，所以最坏情况下的时间复杂度不能
保证总是O(nlogn)的。

BFPRT算法

在BFPTR算法中，仅仅是改变了快速排序Partion中的pivot值的选取，在快速排序中，我们始终选择第一个元
素或者最后一个元素作为pivot，而在BFPTR算法中，每次选择五分中位数的中位数作为pivot，这样做的目的
就是使得划分比较合理，从而避免了最坏情况的发生。算法步骤如下

（1）将输入数组的n个元素划分为n/5组，每组5个元素，且至多只有一个组由剩下的n%5个元素组成。
（2）寻找n/5个组中每一个组的中位数，首先对每组的元素进行插入排序，然后从排序过的序列中选出中位数。
（3）对于（2）中找出的n/5个中位数，递归进行步骤（1）和（2），直到只剩下一个数即为这n/5个元素的中位数，找到中位数后并找到对应的下标p。
（4）进行Partion划分过程，Partion划分中的pivot元素下标为p。
（5）进行高低区判断即可。

本算法的最坏时间复杂度为O(n)，值得注意的是通过BFPTR算法将数组按第K小（大）的元素划分为两部分，而
这高低两部分不一定是有序的，通常我们也不需要求出顺序，而只需要求出前K大的或者前K小的。

代码

import java.util.*;

public class BFPRT {
    public final int MAXN = 100000;

    public static void swap(int [] x , int i , int j){
        int tmp = x[i];
        x[i] = x[j]; x[j] = tmp;
    }

    public static void sort(int [] x , int l , int r){
        for(int i=l ; i<=r ; i++){
            for(int j=i+1 ; j<=r ; j++){
                if(x[j]<x[i]) swap(x , i , j);  //选择排序可以每次不交换，记录下标，最后交换一次
            }
        }
    }

    public int findMedian(int []x , int l  , int r){
        int i , index;
        for(i=l , index=0 ; i+4<=r ; i+=5 , index++){
            sort(x , i , i+4);
            swap(x , l+index , i+2);
        }
        //处理5个一分组多余的数字
        if(i<=r){
            sort(x , i , r);
            swap(x , l+index , i+(r-i+1)/2);
            index++;
        }
        if(index == 1) return x[l+index];
        else return findMedian(x , l , l+index-1);
    }
    //寻找x数组中[l,r]区间内第k小元素
    public int findKthMin(int [] x , int l , int r , int k){
        int median = findMedian(x , l , r);
        // 类似快速排序的方式，确定一个pivot为这个中位数的值x[l]，然后小的数放左边，大的数放右边
        // 填坑法，最开始的数字x[l]上l位置是空出来的，
        // 那么每一轮都从右边位置j找到一个较小的数填到i上（最开始i=l)，然后i上空出来了位置，
        // 就再从左侧开始找到一个较大的数填回j上，直到i>=j
        int mediemVal = x[l];
        int i=l , j=r;
        while(i<j){
            while(i<j && x[j]>mediemVal) j--;
            if(i<j) x[i] = x[j];
            while(i<j && x[i]<mediemVal) i++;
            if(i<j) x[j] = x[i];
        }
        x[i] = mediemVal;
        if(i-l+1 == k) return x[i];
        else if(i-l+1 > k) return findKthMin(x , l , i-1 , k);
        else return findKthMin(x , i+1 , r , k-(i-l+1));
    }

    public static void main(String [] args){

        int []x = {2,3,6,5,7,9,4};
        BFPRT sol = new BFPRT();
        //int val = sol.findMidiem(x , 0 , 6);
        int val = sol.findKthMin(x , 0 , x.length-1 , 3);
        System.out.println(val);
    }
}