leetcode 面试题14- I. 剪绳子(python)

题解：

对于本题，裁剪一段绳子，可以用递归方法进行求解，但是在用递归的时候会产生一系列的重复解，
例如计算f(6)，可以分为f(2), f(4)；计算法f(8)，可以分为f(4), f(4)；就产生了重复计算f(4); 递归是自顶向下；我们在本题中可以利用自底向上的计算（动态规划），减少重复计算，同时可以利用贪心算法快速计算。

方法一：动态规划

从题意n > 1, m > 1；因此n最小为2，并且根据题意，最少切一次，因此2切成1和1；即在n=2时，返回1；动态规划采用自底向上，因此我们需要设置初始值dp[0] = 0, dp[1] = 1, dp[2] = 1; 然后从n=3开始计算，一直到n；在计算过程中，我们用两层for循环来实现裁剪的过程；

转移方程是max(dp[i], max(j*(i-j), j * dp[i - j]))

代码如下：

class Solution:
    def cuttingRope(self, n):

    	if n == 2:
    		return 1
    	

    	dp = [0] * (n+1)
    	dp[0] = 0
    	dp[1] = 1
    	dp[2] = 1


    	for i in range(3,(n + 1)):

    		# max1 = 0

    		for j in range(1,(i//2)+1):

    			dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), j * dp[i - j]))
    			
    		

    	return dp[n]

从上述代码中可以看出我们采用两个for循环，
外层for循环实现绳子长度从3到n时最大乘积的计算；
内层for循环实现绳子i裁剪的过程，求出绳子i裁剪的乘积最大值；其中j的范围为1，(i//2) + 1; 原因是如果长度为5，那么裁剪为2和3与3和2是相同的效果；

状态转移方程的含义：

max(dp[i], max(j*(i-j), j * dp[i - j]))
我们要取出绳长为i裁剪后的最大乘积，其中最大乘积初始化为0，j从1开始变化，即我们裁剪一刀，第一刀的变化过程；然后i变为j和i-j，接下来我们需要考虑以下情况，即绳子是否要继续裁剪；因为我们裁剪成为了两段，所以有四种可能；

1. j不再裁剪，i-j不再裁剪
2. j接着裁剪，i-j不再裁剪
3. j接着裁剪，i-j接着裁剪
4. j不再裁剪，i-j接着裁剪

根据分析，我们可以剔除j接着裁剪的两种情况（2，3），只剩余第一项和第四项。原因如下：
例如i为11的情况：
j为5时，i-j为6；
其中j从1变化到5；
当j为3时，i-j为8
3 8
3不再切割
8可以切割的结果如下：
1，4
2，6
3，5
4，4
我们看3，2，6这一组数据；
2不再切割，对6进行切割；
即最大乘积就变成了 32dp[6]
这正是j为5，i-j为6时的子过程；
因此，由于j时从1开始变化的，所以j变大后的值的切割结果保存在小于j的过程中，因此，j不再进行切割。
所以状态转移方程如下所示：
max(dp[i], max(j*(i-j), j * dp[i - j]))

方法二：贪心算法：
参考这个大神的做法：
https://leetcode-cn.com/problems/jian-sheng-zi-lcof/solution/mian-shi-ti-14-i-jian-sheng-zi-tan-xin-si-xiang-by/

思想是裁剪得到的3越多，乘积越大。
如果是除以3余1，则最后一个是4，切割为2*2；
如果是除以3余2，则最后一个是2.
代码如下：

class Solution:
    def cuttingRope(self, n):

    	if n == 2:
    		return 1
    	if n == 3:
    		return 2
    	
    	if n % 3 == 0:
    		return 3**(n//3)

    	if n % 3 == 1:
    		return 3**(n//3 - 1) * 4
    	if n % 3 == 2:
    		return 3**(n//3) * 2

另附动态规划的四种情况代码：
转移方程为：
max(dp[i], max(j*(i-j), dp[j] * (i-j), j * dp[i - j], dp[j] * dp[i - j]))

class Solution:
    def cuttingRope(self, n):

    	if n == 1:
    		return 1
    	if n == 2:
    		return 1
    	

    	dp = [0] * (n+1)
    	dp[0] = 0
    	dp[1] = 1
    	dp[2] = 1


    	for i in range(3,(n + 1)):

    		# max1 = 0

    		for j in range(1,(i//2)+1):

    			dp[i] = max(dp[i], max(j*(i-j), dp[j] * (i-j), j * dp[i - j], dp[j] * dp[i - j]))
    			
    		

    	return dp[n]