【NOIP2017】洛谷3957 跳房子题解（二分+DP+单调队列）

题目：luogu3957.
题目大意：现在给定一串长度为$n$的序列$a$，$a[i]$表示第$i$个元素的值.现在给定一个值$d$，表示当使用$g$枚金币时，可以每次向右移动$d+g$~$d+g$格（具体看题目），现在问你最少要用多少金币才能使跳到的格子的元素和至少为$k$，若无解输出$-1$.
$1\le n\le 5\ast 10^5,1\le d\le 2000,$.

这道题我们先来考虑无解的情况，若所有正数元素和都没有$k$大，则输出$-1$.

否则，我们进行暴力枚举$g$，每次判定它是否能够使金币数大于$k$.

很容易发现若$g$可行，则$g+1,g+2,...,n$就都可行，而如果$g$不行，则$g-1,g-2,...,1$则都不行，这就满足了二分所需的单调性，所以考虑二分$g$.

考虑用DP来判定，设$f[i]$表示要跳到第$i$个格子所需的最少金币数.那么方程如下：
$$f[i]=(ma{x}_{x[i]-d-g\le x[j]\le min(x[i]-d+g,x[i]-1)}f[j])+s[i]$$

发现这个DP貌似是求一个不断往右移的区间的最值的，貌似我们可以用什么东西维护？

我们选用单调队列来维护这个东西，就可以$O(n)$DP了，总时间复杂度$O(n\log n)$.

代码如下：

#include
  using namespace std;
#define Abigail inline void
typedef long long LL;
const int N=500000;
const int INF=(1<<30)-1;
int n,d,x[N+9],ans,s[N+9],f[N+9],k,h,t,q[N+9];
void clear(){h=1;t=0;}
bool empty(){return h>t;}
int top(){return q[h];}
void push(int x){
  while (h<=t&&f[x]>f[q[t]]) t--;
  q[++t]=x;
}
void pop(){h++;}
bool check(int g){
  for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=-INF;
  clear();f[0]=0;
  int j=0;
  for (int i=1;i<=n;i++){
    while (j<i&&x[i]-x[j]>=d-g) push(j++);
    while (!empty()&&x[i]-x[top()]>d+g) pop();
    if (empty()||f[top()]==-INF) continue;
    f[i]=f[top()]+s[i];
    if (f[i]>=k) return true;
  }
  return false;
}
Abigail into(){
  scanf("%d%d%d",&n,&d,&k);
  for (int i=1;i<=n;i++)
    scanf("%d%d",&x[i],&s[i]);
}
Abigail work(){
  ans=INF;
  for (int i=29;i>=0;i--)
    if (check(ans-(1<<i))) ans-=1<<i;
}
Abigail outo(){
  if (ans==INF) printf("%d\n",-1);
  else printf("%d\n",ans);
}
int main(){
  into();
  work();
  outo();
  return 0;
}