位运算

Update:

右移例子中右移符号(>>)打错，现已更正，感谢tabula rasa的提醒
11.18更正两个错字，感谢weixin_39025439的提醒

首先

要明白位运算是在二进制中的运算方式，所有其他进制的数在进行位运算时都要先转化成二进制数再进行运算。
位运算主要包括按位与(&)、按位或(|)、按位异或(^)、取反( ~ )、左移(<<)、右移(>>)这几种。
其中除了取反( ~ )以外，其他的都是二目运算符，即要求运算符左右两侧均有一个运算量。

补码

补码是为了表示一个负数的二进制形式。
其转化方式是，先将负数当成正数，转化成二进制的形式，再将二进制正数的各个位上取反，再加上一。

例如-5
先求出5的二进制数 ： 0000 0000 0101
然后将各个位上0变1,1变0 ： 1111 1111 1010
最后再加1 ： 1111 1111 1011
这里5二进制下是101表示时前面全是0，这里省略就只写了几个意思一下^ _ ^

按位与（&）

运算的两个数，转换算为二进制后，进行与（&）运算。
当相应位上的数都是1时，该位取1，否则该为0。

例如5 & -5
5 ： 0000 0000 0101
-5 ：1111 1111 1011
答案 ： 0000 0000 0001

按位或（|）

运算的两个数，转换为二进制后，进行或（|）运算。
只要相应位上存在1，那么该位就取1，如果都不为1，就为0。

还是5 | -5
0000 0000 0101
1111 1111 1011
可以看到每一位中其中一个都有1
答案 ：1111 1111 1111

按位异或（^）

运算的两个数，转换成二进制数后，进行异或（^）运算
如果相应位置上的数相同，该位取0，如果不同改位取1。

5 ^ -5
0000 0000 0101
1111 1111 1011
答案： 1111 1111 1110

同时任何数异或0都是其本身，一个数如果异或自己则等于0
这样我们可以用异或来交换两个数的值

比如交换x，y的值
x ^= y; x = x ^ y
y ^= x; y = y ^ x ^ y
x ^= y; x = ( x ^ y ) ^ (y ^ x ^ y) ; --------- //最后一步 x ^= y 时 x = x ^ y; y = y ^ x ^ y

左移（<<）

将一个数二进制下的数向左移若干位，
比如 x << y 就是将二进制下的x 向左移 y 位

例 ： 5 << 5
5 : 0000 0000 0101
5 << 5 : 0000 1010 0000
在10进制下就等于160

我们可以思考一下，在十进制中，一个数每乘一次10就向左进一位。
那么在二进制中，同10进制一样，二进制中每乘一次2就向左进一位，
那么一个数左移x 就等价于一个数乘 2^x。

右移（>>）

将一个数在二进制下右移若干位
与左移用法相同

例 5 >> 2
5：0000 0000 0101
5 >> 2 ： 0000 0000 0001
十进制下等于1

这里与左移类似，十进制下每除10整数位就退一位
那么右移就等价于除了几次2
同时右移运算是向下取整的

取反（~）

其实在说补码的时候，取反就已经说了，就是将取反的数在二进制下的每一位取相反的数

5 : 0000 0000 0101
~5 : 1111 1111 1010

补充

位运算可用于状态压缩，用0,1来表示物品的状态。
例如：现有n个物品，我们就可以用一个n位的二进制数来表示每一个物品的选取，若第i为1，表示选取第i个物品，若第i位为0,则表示不选取第i个物品。
状态压缩常用于搜索和DP，是一种很暴力的方法，只有在N比较小的时候适用long long类型能存下10¹⁸的数，大概是2⁴⁰即N>40时，我们很可能不能直接用二进制枚举出状态并储存。