npc介绍

楔子

这学期选了中大的神课CSCI5320，授课老师是蔡雷震教授，香港一位很牛的搞算法的老师。蒟蒻被这门课虐得意识模糊，下周考试，复习之余写点心得。

P问题 NP问题 NPC问题 NP-hard问题 区别

几个问题介绍网络上很多，这里简单回顾一下：

$\to$ P问题：多项式可以得到解

$\to$ NP问题：多项式时间可以验证一个解的正确性

$\to$ NPC问题：又称NP完备。NP问题中最难的一类，也就是说任何NP问题都可以在多项式时间内归约到这一类问题上。

我们要证明一个问题A是NPC问题一般可以分为两步：

1）首先A是NP问题，那么给定一个解，可以在多项式时间内验证该解是否正确。（**NP问题的要求**）

2）其次找到一个NPC问题B，B可以多项式时间内归约到A。也就是说A比B难，可以通过解A，把B解了。

$\to$ NP-hard问题：比NPC更难，在多项式时间内无法验证一个解的正确性。

我们要证明一个问题A是NP-hard问题一般可以分为两步：

1) 对问题A给定限制条件得到一个特例B问题

2）证明问题B是NPC问题。

可以看出NPC是NP问题和NP-hard问题的交集。

举个例子：

Dense Induced Subgraph：给定图$G$，正整数$k$和$l$，是否存在$k$个点的生成子图包含最少$l$条边。
证明：令$l=C_k^2$，那么该问题变成Clique问题（NPC问题）

常见的NPC问题

$\to$ Clique

给定图$G$，正整数$k$，是否存在$k$个点的Clique。

$\to$ Vertex Cover

给定图$G$，正整数$k$，是否存在$k$个点的覆盖。

$\to$ Dominating Set

给定图$G$，正整数$k$，是否存在dominating set的大小最多为$k$。
Dominating Set $D$是点集$V$的一个子集，并且对于不在$D$中的点$v$，至少存在一条边$(u,v)\in E$，$u\in D$。

$\to$ Hamiltonian Cycle

给定图$G$
图$G$是否存在哈密尔顿回路$H$。

$\to$ 3-Satisfiability (3Sat)

给定一个有穷的布尔变量集合$X=\{x_1,x_2,\dots ,x_n\}$，变量$x_i$取值为1或者0，另有一组子句$C=\{c_1,c_2,\dots ,c_m\}$，$\mathbb{C}=c_1\wedge c_2\wedge \dots \wedge c_m$，$c_i=x_j\vee x_k\vee x_l$。求是否存在一组取值使得$\mathbf{C}$为真，即任意$c_i$为真。

$\to$ Independent Set

给定图$G$，是否存在Independent Set最少包含$k$个点。

$\to$ Hamiltonian Path

给定图$G$，是否存在哈密尔顿路径。

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