机器学习之SMO、SVR

序列最小优化算法SMO

        SVM的学习问题可以形式化为求解凸二次规划问题，这样的问题具有全局最优解。但是当训练集样本数量很大时，计算开销正比于样本数，并且在实现上也十分复杂。因此引入SMO（Sequential Minimal Optimization）算法，将大的复杂的优化问题分解为多个小的简单的优化问题，最终的结果完全相同且求解时间缩短很多。

        SMO算法是一种启发式（heuristic）算法，基本思路是：使所有变量的解都满足最优化问题的KKT条件，否则每次循环中选择两个变量进行优化，固定其他变量，只针对这两个变量构建二次规划的子问题，可以通过解析的方法快速求解，循环将原问题不断分解为子问题并对子问题求解，从而达到求解原问题的目的。SMO算法包括两个部分：求解两个变量二次规划的解析方法和选择变量的启发式方法。

         

        SMO算法要解决凸二次规划的对偶问题：

            

 

        软间隔SVM的KKT条件：

            

 

        检验训练样本点(x⁽ⁱ⁾,y⁽ⁱ⁾)是否满足KKT条件：

            

        认为α₁、α₂是变量，其他α为常量，从而将目标函数转换为：

            

        对第一个限制条件，可以消去α₁的值：

            

            

        将α₁、v_j带入目标函数，可得：

          

        W对α₂求偏导=0得到：

            

        将带入上式得到：

            

       

        令E_i=g(x⁽ⁱ⁾)-y⁽ⁱ⁾，可得α无约束下的解：

            

        考虑约束条件：

            

             

        最优解必须要在方框内的直线上取到，

        当y⁽¹⁾=y⁽²⁾时，α₁+α₂=k：

            

        当y⁽¹⁾≠ y⁽²⁾时，α₁-α₂=k：

            

        结合α的取值范围，可得最优解为：

            

        根据α₁和α₂的关系，可得：

            

 

        在更新两个α后，需要重新计算b和差值E_i。当0<α₁^new

            

        同理当0<α₂^new2^new。

        如果α₁^new、α₂^new同时满足0<α^new1^new=b₂^new；如果α₁^new、α₂^new是0或者C，那么b₁^new、b₂^new和以及它们之间的数都是符合KKT条件的阈值，这时选择它们的中点作为b^new：

            

        更新两个变量对应的差值E_i为，需要用到b^new以及所有支持向量对应的α_j：

            

        

子问题两个的变量选择方法：

        （1）外层循环选择的第一个变量是违反KKT条件程度最大的，即y⁽ⁱ⁾g(x⁽ⁱ⁾)最小的变量。遍历所有满足条件0<α

        （2）内层循环选择的第二个变量应是使目标函数值减小最快的变量，但由于计算过于复杂，因此选择优化程度最大的、能使α₂有足够大的变化的变量作为第二个变量。简单的做法是选择|E₁-E₂|足够大的变量，即当E₁为正时，选择最小的E_i作为E₂；当E₁为负时，选择最大的E_i作为E₂。

        注意，如果选择的第二个变量不能够让目标函数值有足够的下降，那么可以通过遍历支持向量点乃至所有样本点来寻找第二个变量，如果都没有足够下降的话，跳出内层循环，重新选择第一个变量。

 

SMO算法流程总结

        （1）输入样本数据{(x⁽¹⁾,y⁽¹⁾),(x⁽²⁾,y⁽²⁾),...,(x^(m),y^(m))}，x为n维特征向量，y=1或-1；精度为ε。

        （2）初始化α⁰=0，最大迭代次数maxIter，k=0；

        （3）选择需要进行优化的两个变量α₁^k和α₂^k，计算新的α₂^{new,unclipped}；

        （4）求出有约束下的α₂^new即α₂^k+1；

        （5）由α₁和α₂的关系求出α₁^k+1；

        （6）计算b^k+1和E_i的值

        （7）检查y⁽ⁱ⁾E_i的绝对值是否在精度范围内，即目标函数值有足够的下降，并且求解出来的α满足KKT相关约束条件，则结束循环返回α₁^new、α₂^new的解，令k=0。否则令k+=1继续迭代计算α₂^{new,unclipped}的值，直到k达到设置的最大迭代次数maxIter或者遍历整个集合都未对任意α对进行修改时，停止循环返回最终的α和b。

 

SVR（回归问题的SVM）

        SVM和决策树类似，可以将模型应用到回归问题中。与传统回归模型损失函数不同的是，SVR能容忍预测值与真实值最多有ε的偏差，即如果二者之间的偏差的绝对值小于等于ε，则认为误差为零；当二者之间的偏差的绝对值大于ε时才计算损失。

        ε-不敏感损失函数可以写成如下形式：

            

        在不敏感区域外，会有一个与损失相关的线性代价：

             

        因此可以将SVR问题形式化为：

            

 

        由间隔带两侧的松弛程度可以不同，引入两个松弛变量ξ_i≥0和ξ^{^}_i≥0，其中ξ_i>0对应于的数据点，ξ^{^}_i>0对应于的数据点。考虑松弛变量后每个数据点x⁽ⁱ⁾位于管道内的条件为：

            

              

        因此SVR回归加入松弛因子的误差函数和限制条件可以写为：

            

        构造Lagrange函数：

            

        原始函数转化为对偶函数：

            

        求优化函数对于w、b、ξ的极小值：

            

        将上面四个式子带入L，即可得到只含α的SVR的对偶问题：

            

        KKT条件

            

        当且仅当f(x⁽ⁱ⁾)-y⁽ⁱ⁾-ε-ξ_i=0时，α_i能取非零值，当且仅当y⁽ⁱ⁾-f(x⁽ⁱ⁾)-ε-ξ^{^}_i=0时，α^{^}_i能取非零值；即当样本不落入ε-间隔带中，相应的α_i、α^{^}_i才能取得非零值。此外，约束f(x⁽ⁱ⁾)-y⁽ⁱ⁾-ε-ξ_i=0、y⁽ⁱ⁾-f(x⁽ⁱ⁾)-ε-ξ^{^}_i=0不能同时成立，因此α_i和α^{^}_i中至少有一个为零。

        SVR的解形如：

            

        其中(α^{^}_i-α_i)≠0的样本为SVR的支持向量，它们必落在ε-间隔带外，可知SVR的解具有稀疏性。对于α的解可以使用SMO算法来求解，若0<α_ii)ξ_i=0可知ξ_i=0，可以得到b的值：

            

        取所有满足条件0<α_i

            

 

Scikit-learn SVM算法库

        sklearn中SVM算法库主要分为两类，一类是分类算法：SVC、NuSVC、LinearSVC；另一类是回归算法：SVR、NuSVR、LinearSVR；此外OneClassSVM可以用于异常点检测。

        详见：http://scikit-learn.org/dev/modules/svm.html