连通图总结及例题

【什么是连通图】

在图论中，连通图基于连通的概念。在一个无向图 G 中，若从顶点i到顶点j有路径相连（当然从j到i也一定有路径），则称i和j是连通的。如果 G 是有向图，那么连接i和j的路径中所有的边都必须同向。如果图中任意两点都是连通的，那么图被称作连通图。如果此图是有向图，则称为强连通图（注意：需要双向都有路径）。

连通图的题目有许多，我们先要了解：
文章的最下面有相关的例题，可以拿来练练手。

1.如何缩点，有向图和无向图的区别。
2.如何求割点，
3.如何求桥。
还有其他的没有学到，学到了再补~~

【缩点】

缩点就是要将两两之间可以相互到达的点，缩成一个点来表示（即求无向图的连通分量，或者有向图的强连通分量），他们的求法都是相同的，都是将无向图转化为有向图。
接下来我们讲一个算法，基本上都是以Trajan算法写题的。

【Trajan算法】

我们要引入两个数组，low数组，记录一个连通分量中的最小值（在这里说明一下，一个连通分量的low值不一定相等，在下面再讲解），DFN数组，记录的是第几个遍历到这个没有被访问过的点的（可能不是太懂，没关系，继续看）。

先给大家举个例子，例如：
4个点，4条边，如图所示

以有向图为例。
如果我们要缩点，肯定是将点2，3，4缩成一个点，因为他们两两之间能相互到达（如果是无向图，这里的两条路是不能相同的，例如：1-2，2-1，这是同一条路）。
下面我们看代码：

void Trajan(int u)//递归，深搜
{
    lowpow[u]=DFN[u]=++dfs_clock;//将访问的点，low数组和pre赋值，
    s.push(u);//将这个数压入栈中
    for(int i=firs[u]; i!=-1; i=edge[i].nex)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(!DFN[v])//如果v没有被访问过
        {
            Trajan(v);//深搜，向下访问
            //直到访问到头，递归回来后，
            lowpow[u]=min(lowpow[u],lowpow[v]);//更新low数组的值，
        }
        else if(!sccnow[v])//如果v点被访问过，但没有被染色，就更新low的值
            lowpow[u]=min(lowpow[u],DFN[v]);
    }
    //如果都与u相连的边都被访问过了，就开始染色，将是同一个连通分量的点，染成同一个点。
    if(lowpow[u]==DFN[u])//如果low值和DFN的值，相等代表u是这个连通分量的开始的点（看不懂可以向下看）
    {
        scc_clock++;//这个是记录，有多少个连通分量了
        while(1)
        {
            int x=s.top();
            s.pop();
            sccnow[x]=scc_clock;//sccnow记录x点被染成了那个数字，
            sccinq[scc_clock]++;//记录这个数字的个数，即这个连通分量中点的个数
            if(u==x) break;//如果全部染完，就结束了
        }
    }
}

根据上面的例子，我们是这样遍历的：

 for(int i=1; i<=n; i++)
        if(!pre[i])
            Trajan(i);

（1）所以是从1开始的，先把1的low[1]=DFN[1]=1;然后放入栈中,
遍历与1相关连的边，先找到2,发现2没有被访问过，就搜索2.

（2）再从2开始，把2的low[2]=DFN[2]=2;然后放入栈中,
遍历与2相关连的边，先找到3,发现3没有被访问过，就搜索3.

（3）再从3开始，把3的low[3]=DFN[3]=3;然后放入栈中,
遍历与3相关连的边，先找到4,发现4没有被访问过，就搜索4.

（4）再从4开始，把4的low[4]=DFN[4]=4;然后放入栈中,
遍历与4相关连的边，发现2，但是2被访问过了，就把4的lowpow[4]=min(lowpow[4],DFN[2]);更新。发现这时，lowpow[4]！=DFN[4]，不执行里面的内容，返回到第三步。

（5）接着返回到第三步，更新lowpow[3]=min(lowpow[3],lowpow[4]);，没有了点，跳出for循环，lowpow[3]！=DFN[3]，不执行里面的内容，返回到第二步。

（6）接着返回到第二步，更新lowpow[2]=min(lowpow[2],lowpow[2]);，没有了点，跳出for循环。因为lowpow[2]==DFN[2]，所以执行里面的内容，开始染色，
将栈头到点2的所有点都赋为点1，然后记录个数，返回第一步。

注意：这时候你会发现，栈里只剩下1了，而且2，3，4被染成了点1。

（7）接着返回到第一步，更新lowpow[1]=min(lowpow[1],lowpow[2]);，没有了点，跳出for循环。因为lowpow[1]==DFN[1]，所以执行里面的内容，开始染色。

注意：这时候栈为空了，所有的点都被重新染色了，

（9）程序结束。
这就是Trajan算法的全部过程了，并且包括染色，其他的问题都是用的这种方法，所以一定要弄过程，否则很容易混乱~~，如果还有不会的概念可以，留言或者百度。

现在就说一说为什么，有向图和无向图的low值，在相同的连通分量中会不相同。
给你个样例自己试试：
如果这两幅图，他们的low值就不一样，可以动手试一试~~

【求割点】

割点一般是无向图的题目（有向图我也没有见过）。
割点的定义：将这个点去掉，图就会被分成两个部分（或者以上），那么这个点就是一个割点。
例如上面的右面的图，2是一个割点，1，3，4，5不是割点。

求割点的函数就是在Trajan算法的基础上，再加一些判断得来的。
首先要知道那些点是割点：

1、对根节点u，若其有两棵或两棵以上的子树，则该根结点u为割点；
2、对非叶子节点u（非根节点），若其子树的节点均没有指向u的祖先节点的回边，说明删除u之后，根结点与u的子树的节点不再连通；则节点u为割点。

这一点想一想还是能够理解的，实在不懂的可以找个图试一下，很简单的。

下面是求割点的算法，可以看一下，与上面缩点的算法是一样的，只不过加了一些判断割点的条件，而且缺少了染色的过程，那是因为无向图中同一个连通图的low值是一样的，这样就不需要染色了，而且这里本身好像也不需要染色。

void Trajan(int u,int pre)//u代表当前节点，pre代表u的父亲节点
{
    low[u]=DFN[u]=++dfs_clock;
    int sum=0;
    for(int i=0; i//g是vector数组，没有学过的可以稍微看一下，很简单的
    {
        int v=g[u][i];//与u相连的点v
        if(v==pre) continue;//如果v是u的父亲节点，代表它走了回路，因为这是无向图，要从新再找点
        if(!DFN[v])//没有被标记过
        {
            Trajan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>=DFN[u])
            {
                sum++;//记录该点把图分成了几个部分，例如图：1——2——3,2把图分成了两个部分
                if(u!=pre)//（1）割点不是根节点
                    cut[u]=1;
                //（2）割点是根节点，并且将图分成的部分大于1，
                //例如：1——2——3，1不是割点，因为他没有将图分开，sum没有大于1
                if(u==pre&&sum>1)
                    cut[u]=1;
            }
        }
        else low[u]=min(low[u],DFN[v]);
    }
}

【求桥】

什么是桥：在一个无向图中，如果去掉一条边，使得图被分成了几个部分，那么这条边就被称为桥；
例如图：

1——2这条边是桥，其余的边都不是桥，这与割点是不同的，割点看的是点，桥看的是边。
桥的判断条件只有一个：

当且仅当：low[v]>DFN[u]，此时是桥

下面是代码：

void Trajan(int u,int pre)
{
    low[u]=DFN[u]=++dfs_clock;
    for(int i=firs[u]; i!=-1; i=edge[i].nex)
    {
        int v=edge[i].v;
        if(v==pre) continue;
        if(!DFN[v])
        {
            Trajan(v,u);
            low[u]=min(low[u],low[v]);
            if(low[v]>DFN[u])//判断是否为桥的条件
            {
                bridge_clock++;
                edge[i].cut=edge[i^1].cut=1;//将这条边记录一下
            }
        }
        else low[u]=min(low[u],DFN[v]);
    }
}

【下面是例题】

缩点：

1. 题目链接：Network of Schools
2. 题目链接：Redundant Paths
3. 题目链接：迷宫城堡

割点：

1. 题目链接：Network

桥：

1. 题目链接：Critical Links
2. 题目链接：SPF
3. 题目链接：Caocao’s Bridges
4. 题目链接：Burning Bridges

注：如有错误，请留言~~