[后缀自动机]SAM的一点理解

主要参考资料：CLJppt。

预备知识

自动机组成：状态、初始状态、终止状态、状态转移、字符集。

什么是状态？

经典图片：

ACADD对应的SAM

对于整个串而言，初始状态（以下简称为init）为ROOT，终止状态集合（以下简称end）为最上方及最右方的那两个写着D的圈（状态既不是字符，也不是子串，在这里把它理解为某个下标更好），所有的状态就是那七个圈，每条实线边代表从一个状态向另一个状态的状态转移。字符集不太重要，在这里为26个字母（暂不区分大小写）。

定义的标注

为便于阅读及写作，下文中，定义均使用

• 定义

的格式进行标注。当发现有问题时，不妨回到开头再看一眼定义。

正文

Part 1 自动机&&后缀自动机的一些定义

• 用$trans()$代表状态转移函数（即上文所说边）。
• $trans(s,ch)$表示从状态s起，通过字符ch转移所到达的状态（就是走标号为ch的边到达的点）。
• $trans(s,ch)$表示的状态若不存在，则值为NULL。同时规定$trans(NULL,an{y}_{p}ossibl{e}_{v}alue)$只能为NULL。

例如，上图中，如果当前状态在左下角的A这个圈，通过’D’可以转移到右下角倒数第二个D这个圈，通过’C’可以转移到。。。唯一的C所在的圈。

由于一直用**圈**表述状态实在太麻烦，因此在不引起歧义的前提下，我也会使用某个字符来表示状态。但请时刻注意，状态并非字符。

• $trans(s,str)$表示从s状态起，通过字符串str转移后到达的状态。

例如，上图中，从init通过字符串"AC"转移可以到达唯一的那个C。

很明显，有如下函数（伪代码）：

trans(s,str)
    cur = s;
    for i = 0 to len(str) - 1
        cur = trans(cur, str[i])
    return cur

就是说，$trans(s,str)$可以看成是一大堆$trans(s,ch)$的总和。

• 于是某个自动机A能识别的字符串就是所有使得$trans(init,x)\in end$的字符串x。记为$Reg(A)$

（说白了就是把x放到ROOT上开始沿着边跑，如果在end中节点上结束，就说能识别。栗子：我往一颗Trie树中插了字符串"ACADD"，那这颗Trie就能识别"ACADD"，不能识别"ACA"、"BC"等等奇奇怪怪的字符串）

• 从状态s开始能识别的字符串，就是所有使得$trans(init,x)\in end$的字符串，记为$Reg(s)$。
• $Reg()$的值是个集合。

比如，还是刚才那图，从C开始，"DD"可以被识别（因为$trans(C$所在的圈，$"DD")\in end$）

• S的后缀自动机（以下简称为SAM），能够识别S的所有后缀。

也就是说，当且仅当x是S的后缀时，$x\in Reg(SAM)$。既然能识别所有的后缀，那我们扩展end集合后，SAM也能识别S所有后缀的前缀，即S的子串。

Part 2 减少状态及一些性质

当然我们可以把一个串的所有后缀都插入Trie树，这当然也是后缀自动机，但是时间、空间复杂度都是$O(n^2)$。

考虑到这样一颗Trie树会有很多重复的字符，因此我们需要最简状态后缀自动机，即状态数（就是需要的圈）最少的后缀自动机。

一些性质

• $ST(str)=trans(init,str)$

定义$ST(str)$为初始状态读入str（以下用“读入%s”表示“通过%s转移”）后到达的状态。

• $Suf$：原串S后缀的集合
• $Fac$：原串S子串的集合
• $S[l,r)$表示S中$[l,r)$这个区间构成的子串。
• $Suffix(a)$表示从位置a开始的后缀，即$S[a,len(s))$。
• 约定S下标从0开始。
• 若$l>=r$，$S[l,r)=""$

对于一个字符串s，如果$s\notin Fac$，那么$ST(s)=NULL$（显然）。而如果$s\in Fac$，那么$ST(S)̸=NULL$，因为如果s是S的子串，在s后面加上一些字符就可能变为S的后缀。

考虑朴素的插入，是对每个$s\in Fac$都新建一个状态（既然对所有后缀建一条链，那对于某个后缀的前缀的最后一个字符，都要新建一个状态，那么可以看作对每个子串新建了一个状态），这样做是$O(n^2)$的。

考虑对于某个字符串$a$，$ST(a)$能识别那些字符串，即从$ST(a)$起通过那些字符串可转移到end，即$Reg(ST(a))$

$x\in Reg(SAM)$，当且仅当$x\in Suf$

$x\in Reg(ST(a))$，当且仅当$ax\in Suf$

也就是说ax是S后缀，那么x必定也是S后缀。$\therefore Reg(ST(a))$是一些后缀集合。

现在，对于一个状态s，我们只关注$Reg(s)$。

对于某个子串a，如果$S[l,r)==a$，那么$ST(a)$能识别$Suffix(r)$。

如果a在S中出现的位置的集合为$\{(l,r)|S[l,r)==a\}=\{[l_1,r_1),[l_2,r_2),...,[l_n,r_n)\}$，那么$Reg(ST(a))=\{Suffix(r_1),Suffix(r_2),...,Suffix(r_n)\}$。

不妨令$Right(a)=\{r_1,r_2,...,r_n\}$。

那么$Reg(ST(a))$完全由$Right(a)$决定。

又因为我们要使状态数最少，那所有状态s应该与所有$Reg(s)$一一对应（首先，每个状态s一定能映射到一个Reg集合。然后，如果两个s映射到同一个Reg集合，为什么不把它们合并呢？）。也就是说，$Reg(ST(a))==Reg(ST(b))\iff ST(a)==ST(b)$

那么对于两个子串$a,b\in Fac$，如果$Right(a)=Right(b)$，那么$Reg(ST(a))=Reg(ST(b))$，即$ST(a)=ST(b)$。

• $Right(ST(a))=Right(a)$

所以一个状态s，可以由所有$Right$集合是$Right(s)$的字符串从init转移到达。记这些字符串为$Sub(s)$

• $Sub(s)=\{str|ST(str)=s\}$

不妨设$r\in Right(s)$，那么如果再给出一个合法的子串长度len，那么这个子串就是$S[r-len,r)$。即给定某个合法的（在这里指存在某个状态s的Right集合等于它）Right集合后，再给出一个合法的长度就可以确定子串了。

考虑对于一个Right集合，如果对于串长为$len=lorlen=r$的子串是合法的，那么对于$len\in [l,r]$的子串也一定合法。

一些说明：设Right集合$R_1$中有一元素$substring\_r_1$，在$len=lorlen=r(l<=r)$的情况下$Right(S[substring\_r_1-len,substring\_r_1))=R_1$，那么情况如图。

很显然，对于$len\in [l,r],S[substring\_r_1-len,substring\_r_1)$，都可以且仅可以识别R1中元素开始的后缀。而对于$len>r$，只能保证仅可以；对于$len<l$，只能保证可以。因此在$len\notin [l,r]$情况下，不保证$Right(S[substring\_r_1-len,substring\_r_1))=R_1$。

所以对于一个Right集，合法的长度只能存在于一个区间内。

不妨设对于一状态s，合法的区间长度为$[Min(s),Max(s)]$

状态数线性证明

考虑两个状态a,b，各自的Right集合分别为$R_a,R_b$。

假设$R_a\cap R_b̸=\varnothing$，设$r\in R_a\cap R_b$。

由于$Sub(a),Sub(b)$不会有交集（$trans(init,str)$只能到达一个状态），所以$[Min(a),Max(a)]$和$[Min(b),Max(b)]$也不可能有交集（不然的话以r为结束的某些子串会既到达a，又到达b）。

不妨设$Max(a)<Min(b)$，那么$Sub(a)$中所有串长度都小于$Sub(b)$中的串。由于$Sub(a),Sub(b)$中的串都可以接上$Suffix(r)$（$Right$定义），那么$Sub(a)$中串必定是$Sub(b)$中串的后缀。

于是$Sub(b)$中某串出现的位置上，$Sub(a)$中某串也必然能在这里出现。因此$R_b\subset R_a$。又$R_a̸=R_b$，所以$R_b⫋R_a$。

于是，$Fac$中任意两串的$Right$集合，要么不相交，要么一个是另一个的真子集，要么完全相同。

那么，如果我们把所有的$Right$集合组成集合，我们可以把他们组织成一个树的结构（如上图）。我们把它叫做Parent树。

很明显，这棵树叶节点有n个，而每个非叶子节点至少有两个孩子（不存在只有一个孩子），易证树的大小为$O(n)$级别（显然？？）。

后面会用到的一些东西

令一个状态s，令$fa=Parent(s)$代表唯一的那个$Right$集合是$Right(s)$父节点对应的集合的状态（这句话有点绕口，多读）。那么自然有$Right(s)⫋Right(fa)$，并且$Right(fa)$的大小是其中最小的。

考虑$len(Sub(s))$和$len(Sub(fa))$。则$len(Sub(s))\in [Min(s),Max(s)]$。考虑$Min(s)-1$为什么不可以，因为长度变短，限制条件变少，于是可出现的位置多了。假设$Right(s)=R_1$，还是这幅图：

这是$Min(s)-1$的情况：

显然，这个变大后的$Right$集是所有包含$R_1$的集合中最小的一个。因此它就是$Right(fa)$。因此，$Max(fa)=Min(s)-1$。（L就是$Min(s)$）

状态转移数线性的证明

我们已经证明了状态数是$O(n)$的，为证明这是一个线性结构，还需证明它状态转移数也是$O(n)$的。

• 若$trans(s,a)=t$，则s向t连一条标号为a的边（就是s->ch[a] = t）。

自己看CLJ课件去！

显然法：状态是$O(n)$的，每个状态最多连出26条边，状态很显然是$O(n)$的。

Part 3 构造

回顾定义与性质

• 状态s，转移trans，初始状态init，终止状态集合end。
• 母串S，S的后缀自动机SAM。
• $Right(str)$表示$str$在母串中所有出现的位置右端点集合。
• $Sub(s)$中所有子串$Right$集合相同，为$Right(s)$。
• $Parent(s)$与$Parent$树。

对于一个状态s，它的$Right(s)=\{r_1,r_2,...,r_n\}$，现有s->ch[a]=t，考虑t的$Right$集合，由于t比s多一个字符，因此它限制更多，$Right(t)=\{r_i+1|S[r_i]==c\}$。

终于可以把这张大图下放了。

例如，对这个"ACADD"的SAM，若s = root->ch['a']，t = s->ch['d']，那么$Right(s)=\{1,3\}$（对应的后缀为"DD",“ACDD”），$Right(t)=\{4\}$（对应的后缀为"D"），显然符合前面所说规则。（记住下标从0开始）

同时，如果s出发有标号为x的边，那么$Parent(s)$出发也一定有（因为$s⫋Parent(s)$）。

令$f=Parent(s)$。那么$Right(trans(s,c))\subset Right(trans(f,c))$（因为$s⫋f$）。

一个显然的推论是$Max(t)>Max(s)$。（对t而言，如果不考虑$Min(t)$，那么$len=Max(s)+1$显然合适）

具体操作

• $SAM(str)$：str的后缀自动机

我们使用在线方法构造，即每次添加一个字符，使得当前SAM变成包含这个新字符的SAM（即，先构造$SAM(S[0,i)$，再构造$SAM(S[0,i+1)$）。

令当前字符串为T，新字符为x，令$len(t)=L$。

在$SAM(T)\to SAM(Tx)$的过程中，这个SAM可以多识别一些原串S的子串，这些子串都是Tx的后缀。

Tx的后缀，就是在T的后缀后面接上字符x。

考虑所有可以表示T后缀（即，$Right$集中包含L）的节点$v_1,v_2,v_3,...$。

由于必然存在一个$Right(p)=L$的状态p（$p=ST(T)$），那么由于$v_1,v_2,v_3...$的$Right$集合中都含有L，那么它们在$Parent$树中必然全是p的祖先（由于$Parent树的性质$）。那么可以使用$Parent$函数得到它们。

同时我们添加一个字符x后，令$np=ST(Tx)$，则此时$Right(np)=L+1$。

不妨设$v_1=p,v_2=Parent(v_1),v_3=Parent(v_2),...,v_k=Parent(v_{k-1})=root$（$Right(root)=[0,L]$）。

考虑其中一个v的$Right$集合$\{r_1,r_2,...,r_n\}(r_n=L)$，那么如果v->ch[x]=nv，则$Right(nv)=\{r_i+1|S[r_i]==x\}$。同时，如果v->ch[x]=NULL，那么v的$Right$集合内就没有一个$r_i$使得$S[r_i]==x$（先不考虑$v_n$）。

又由于$Right(v_1)⫋Right(v_2)⫋Right(v_3)...$，那么如果v[i]->ch[x]!=NULL，那么v[j]->ch[x]也一定不是NULL（$j>i$）。

情况1

对于v->ch[x]==NULL的v，它的$Right$集合内只有$r_n$满足要求，所以根据之前提到的规则，使得v->ch[x]=np。

情况2

令$v_p$为$v_1,v_2,v_3,...$中第一个ch[x]!=NULL的状态。

考虑$Right(v_p)=\{r_1,r_2,...,r_n\}$，令$trans(v_p,x)=q$。

那么$Right(q)=\{r_i+1|S[r_i]==x\}$（不考虑r_n）。

但是，我们不一定能直接在$Right(q)$中插入$L+1$（暂且不管如何插入）。

如果在$Right(q)$中直接插入$L+1$，由于限制条件增加，可能使$Max(q)$变小。

放图：

红色是结束在$Right(v_p)$位置上，长度为$Max(v_p)$的串，蓝色为结束在$Right(q)$位置上，长度为$Max(q)$的串。

于是强行做的话，$Max(q)$变小就很显然了。

当然，如果$Max(q)==Max(v_p)+1$，就不会有这样的问题（这个很显然，把上图蓝色串开头的A改成B就行了），直接插入即可。

怎么插入？$Parent(np)=q$。

证明：很显然$Right(np)⫋Right(q)$（q不会是$ST(T)$，$L+1\in Right(q)$），所以只需证明$Right(q)$是所有包含$Right(np)$的集合中大小最小的。反证法，假设存在一个包含$Right(np)$的集合$Right(f)$，且$Parent(f)=q$，那么$Min(f)=Max(q)+1$，于是当$len=Max(q)+1$时，$len\in [Min(f),Max(f)]$。设$Right(q)=\{r_1,r_2,...,r_k,...,r_n\}$，$Right(f)=\{r_1,r_2,...,r_k,r_n\}$，看图。

如果真是这样，$Right(p)$不会是图上的$Right(p)$，其中上方左数第一条边不应该存在（左数第三条可能也不存在）。因为只需要第2、4条边就可以使p->ch[x]!=NULL了，而这时第一条边显然还没有（加入它后Right§会变小）。于是产生矛盾，由此命题得证。

情况3

在2的情况下再减去一些限制条件又会怎样呢？

比如，现在没有了$Max(q)==Max(v_p)+1$。

这个条件这么好，没有了岂不是可惜？

没有条件，创造条件。

上图中，红色为$Right(v_p)$，蓝色为$Right(q)$，绿色为$Right(nq)$。

我们把q拆成两份：新建一个节点nq，使$Right(nq)=Right(q)\cup \{L+1\}$。这时，我们可以证明$Max(nq)=Max(v_p)+1$，由于证法与上面那个证明非常类似所以不说了。

于是$Right(q),Right(np)⫋Right(nq)$，且$Right(np)+Right(q)=Right(nq)$（图上可以看出）。于是，$Parent(np)=Parent(q)=Parent(nq)$。

又由于$Min(q)=Min(nq)$（感性认知），所以$Parent(nq)=Parent(q)$(原来的)。

然后，$trans(nq,x)=trans(q,x)$(因为多出来的那个点再转移过程中没有用)。

接着，我们回头考虑$v_1,v_2,...,v_k$这一序列。其中最早在$v_p$处ch[x]!=NULL。于是乎只有一段$v_p,...,v_e$（不是$v_p,...,v_k$，因为$v_e$之后$Right(v->ch[x])$会更大）通过x边转移到q。那么现在把这一段的$trans(\ast ,x)$改为nq既可。

结束了！

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