2019.4.21.数学建模第五章学习笔记（网络优化）

1.最短路问题

1.1图论的基本概念复习

关联函数：边集到顶点集的元素对的集合的映射。
图 : 由顶点集，边集，关联函数组成。
完备图：任意两顶点都相邻。
握手定理：顶点度数和定于边数的两倍。
子图： 顶点集和边集都是母图的子集。
生成子图：顶点集一样的子图。
边的导出子图，顶点的导出子图
关联矩阵：顶点和边。

1.2.1最短路问题的基本概念

最短路：在赋权图G中，从顶点u到顶点v的具有最小权的路P(u,v),称为u到v的最短路。
路径：边与顶点均不重复。

1.2.2固定起点的最短路问题

Dijkstra算法：
按路径长度递增次序产生算法：
把顶点集合V分成两组：
（1）S：已求出的顶点的集合（初始时只含有源点V0）
（2）V-S=T：尚未确定的顶点集合
将T中顶点按递增的次序加入到S中，保证：
（1）从源点V0到S中其他各顶点的长度都不大于从V0到T中任何顶点的最短路径长度
（2）每个顶点对应一个距离值
S中顶点：从V0到此顶点的长度
T中顶点：从V0到此顶点的只包括S中顶点作中间顶点的最短路径长度
依据：可以证明V0到T中顶点Vk的，或是从V0到Vk的直接路径的权值；或是从V0经S中顶点到Vk的路径权值之和
（反证法可证）
求最短路径步骤
算法步骤如下：
G={V,E}

1. 初始时令 S={V0},T=V-S={其余顶点}，T中顶点对应的距离值
   若存在，d(V0,Vi)为弧上的权值
   若不存在，d(V0,Vi)为∞
2. 从T中选取一个与S中顶点有关联边且权值最小的顶点W，加入到S中
3. 对其余T中顶点的距离值进行修改：若加进W作中间顶点，从V0到Vi的距离值缩短，则修改此距离值
   重复上述步骤2、3，直到S中包含所有顶点，即W=Vi为止

1.2.3 每对顶点间最短路问题