拉格朗日乘子法原理：等式约束和不等式约束KKT条件

拉格朗日乘子法是寻找函数在一组约束下的极值方法。

1、等式约束

形式：(x是d维向量)

min f(x)

s.t. h(x) = 0.

写成如下形式：

min f(x)+lambda*h(x)(lambda为参数)

s.t. h(x) = 0.

发现两者是等价的。

记：拉格朗日函数L(x,lambda) = f(x)+lambda*h(x).

发现约束条件h(x)=0,其实就是对拉格朗日函数L(x,lambda)关于lambda求偏导等于0得到，略去该约束，继而原约束优化问题就转化成了对拉格朗日函数L(x,lambda)的无约束优化问题（即令L关于x和lambda的偏导等于0求解）。

几何解释：

原目标函数f(x)取得最小化点x*时，可以得到如下结论：

a.约束曲面上的任意点x,该点的梯度正交于约束曲面；

b.在最优点x*，目标函数在该点的梯度正交于约束曲面（可以反正：若目标函数梯度与约束曲面不正交，则总可以在约束曲面上移动该点使目标函数进一步减小）。

所以，在最优点x*，梯度▽f(x*)和▽h(x*)的方向相同或相反，即存在lambda!=0,使：

▽f(x*)+lambda*▽h(x*)=0.        （1式）

定义拉格朗日函数：L(x,lambda) = f(x)+lambda*h(x).

令L(x,lambda)对x的偏导数等于0，得到1式；令L(x,lambda)对lambda的偏导数等于0，得到约束条件h(x)=0。于是，原约束优化问题转化为无约束优化问题。

 

2、不等式约束

形式：

min f(x)

s.t. g(x) <= 0.

同样定义拉格朗日函数L(x,lambda) = f(x)+lambda*g(x).

此时，首先看目标函数f(x)在无约束条件下的最优点，显然要么在g(x)<=0的区域内，要么在g(x)>0的区域内。

若f(x)在无约束条件下的最优点在g(x)<=0区域内，则约束条件g(x)<=0不起作用（即可直接求min f(x)，得到的结果必然满足g(x)<=0），相当于lambda=0；

若f(x)在无约束条件下的最优点不在g(x)<=0区域内，则f(x)在约束条件下的最优点必然在g(x)<=0区域边界，即在边界g(x)=0上。此类情形类似于等式约束，但此时梯度▽f(x*)和▽g(x*)的方向相反（梯度方向是函数值增大最快的方向），即存在lambda>0，使▽f(x*)+lambda*▽g(x*)=0。

整合上述两种情形，必有lambda*g(x) = 0。所以原不等式约束问题就转化为：

min L(x,lambda)

s.t. g(x)<=0,

lambda>=0,

lambda*g(x)=0.

上面的约束条件即为KKT条件。

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参考资料：周志华《机器学习》

参考博文：拉格朗日乘子法及KKT条件证明