一元函数积分学（1）

1、已知抽象函数积分等式求被积函数值

例1：

设函数$f(x)$在$[0,1]$上连续，且满足$${\int }_0^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}+{\int }_0^1{f}^2(x^2)dx$$求$f(1)$的值.  
知识准备：
首先必须具备一个先决知识点$$\frac{1}{3}={\int }_0^1{x}^{2}dx(veryimportant)$$
思路：
观察恒等式，发现被积函数的自变量不同，考虑使用换元法求解，是用$$x^2⇢xorx⇢x^2?$$
若用$x^2⇢x$则必然会面对$\sqrt{x}$，所以为了避免这个问题我们使用$x⇢x^2$.$${\int }_0^{1}f(x)dx={\int }_0^{1}2xf(x^2)dx$$化简恒等式得到$${\int }_0^{1}2xf(x^2)dx=\frac{1}{3}+{\int }_0^1{f}^2(x^2)dx$$相同积分区间具有可加性，我们考虑转化$${\int }_0^{1}2xf(x^2)dx={\int }_0^1{x}^{2}dx+{\int }_0^1{f}^2(x^2)dx$$$$=>{\int }_0^1[x^2-2xf(x^2)+f^2(x^2)]dx=0=>{\int }_0^1(x-f(x^2){)}^{2}dx=0$$
积分的保号性：被积函数大于等于0，积分大于等于0.
则$x\equiv f(x)⇢f(1)=1$.
思想与知识点提炼：

1. 被积函数的自变量不同考虑换元
2. 避免$\sqrt{x}$这种恶心的符号
3. 积分的保号性

2、一种比较奇怪的求极限方法（借助等价无穷小、定积分定义求变式部分和的极限的理论依据与方法）

例1

求$\underset{n\to \infty }{\lim }(\sin \frac{1}{n+1}+\sin \frac{1}{n+2}+\cdots +\sin \frac{1}{2n})$
知识预备：
定积分的定义：$${\int }_a^{b}f(x)dx=\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n}f(x_n)$$
思路：
看到这一部分，看似满足定积分求极限.
定积分求极限第一步：
配凑$\frac{i}{n}$ $\Rightarrow \sin \frac{1}{n(1+\frac{i}{n})}<\frac{1}{n(1+\frac{i}{n})}$
原式$<\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(1+\frac{i}{n})}={\int }_0^1\frac{1}{1+x}dx=ln2$(很明显无法得到答案，$常用的放缩方法失灵$则意味着放缩方法的失败.)
< ---------------------推荐思路------------------------->
利用Taylor展开式的思路
$\sin x=x-\frac{\sin ({\xi }_i)}{2!}{x}^2=>$

$\sin \frac{1}{n+1}+\sin \frac{1}{n+2}+\cdots +\sin \frac{1}{2n}=\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{n+i}-\sum _{i=1}^{\infty }\frac{\sin ({\xi }_i)}{2!(n+i{)}^2}=>$

$0⩽\left|\sum _{i=1}^{\infty }\frac{\sin ({\xi }_i)}{2!(n+i{)}^2}\right|⩽\sum _{i=1}^{\infty }\left|\frac{\sin ({\xi }_i)}{2!(n+i{)}^2}\right|⩽\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{2n^2}$
由夹逼定律得：
$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{\infty }\frac{\sin ({\xi }_i)}{2!(n+i{)}^2}=0$$
最后$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{\infty }\sin \frac{1}{n+i}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{i=1}^{\infty }\frac{1}{n+i}={\int }_0^1\frac{1}{x+1}dx=\ln 2$$
思路总结：
突如其然来看，这个题目使用的是Taylor公式，但是这个题目很明显是使用的定积分求极限，但是并不是通过放缩法接着极限，而是通过泰勒公式接着极限。
后面的那一部分放缩问题，也有个技巧：$|\sum f(x)|⩽\sum |f(x)|$(求和问题的放缩)；

例2：

设$f(x)$在$[0,1]$上可积，$I_n=\sum _{i=1}^n\ln [1+\frac{f(\frac{i}{n})}{n}]$，计算$\underset{n\to \infty }{\lim }{I}_n.$
知识点预备：
函数$f(x)$在$[a,b]$上可积，则表明函数满足连续，则表明该函数有$max和min$.
思路：
思路与之前的思路相同，$\ln (1+x)=x-\frac{1}{2(1+\xi {)}^2}{x}^2$

$\sum _{i=1}^n\ln [1+\frac{f(\frac{i}{n})}{n}]=\sum _{i=1}^n\frac{f(\frac{i}{n})}{n}-\sum _{i=1}^n\frac{1}{2(1+\xi {)}^2}(\frac{f(\frac{i}{n})}{n}{)}^2$
同理可得出：

$0⩽|\sum _{i=1}^n\frac{1}{2(1+\xi {)}^2}(\frac{f(\frac{i}{n})}{n}{)}^2|⩽\sum _{i=1}^n|\frac{1}{2(1+\xi {)}^2}(\frac{f(\frac{i}{n})}{n}{)}^2|⩽\frac{M}{2n}(n⇢\infty )=0$

$Answer={\int }_0^{1}f(x)dx.$

思路总结：
本题与上题的思路相同，大体思路相同，主要是定积分一部分的问题。