高数 08.06 微分方程习题课 01

微分方程习题课01
一、考试内容
1、常微分方程的基本概念
2、变量可分离方程
3、齐次微分方程
4、一阶线性微分方程
二、考试要求
1、了解常微分方程及其阶、解、通解、初始条件和特解的概念
2、掌握变量可分离的微分方程、一阶线性微分方程的求解方法
3、会解齐次微分方程
三、基本知识
1、微分方程的概念
2、变量可分离方程
dydx=f(x)⋅g(y)→∫dyg(y)=∫f(x)dx
3、齐次微分方程
dydx=f(yx)令u=yx,y′=u+xu′
4、一阶线性微分方程
y′+P(x)y=Q(x)通解公式:y=e−∫P(x)dx[C+∫Q(x)e∫P(x)dxdx]

或者以x为因变量：x′+P(y)x=Q(y)通解公式:x=e−∫P(y)dy[C+∫Q(y)e∫P(y)dydy]

(一)单选题
例1.下列微分方程中,是变量可分离的微分方程式(  C  )
A.xsin(xy)dy+ydy=0B.y′=ln(x+y)C.dydx=xsinyD.y′+1xy=ex⋅y2

例2.方程(y−x3)dx+xdy=2xydx+x2dy是(  C  )
A.变量可分离方程B.齐次方程C.一阶线性方程D.不属于以上三类方程
(y−x3)dx+xdy=2xydx+x2dydydx=y−x3−2xyx2−xdydx+2x−1x2−xy=−x3x2−x一阶线性方程

例3.微分方程y′=e−x2的通解是(  C  )
A.y=e−12x+CB.y=e12x+CC.y=−2e−12x+CD.y=Ce−12x
解:y=∫e−x2dx=−2∫e−x2d(−x2)=−2e−x2+C

例4.微分方程y′−y=1的通解是(  C  )
A.y=CexB.y=Cex+1C.y=Cex−1D.y=(C+1)ex
P(x)=−1,Q(x)=1y=e−∫P(x)dx[C+∫Q(x)e∫P(x)dxdx]=e−∫−1dx[C+∫1e∫−1dxdx]=ex[C−e−x]=Cex−1

例5.微分方程{xy′+y=3y|x=1=0的特解是(  A  )
A.y=3(1−1x)B.y=3(1−x)C.y=1−1xD.y=1−x
解：xy′+6=3→y′+1xy=3xP(x)=1x,Q(x)=3x,y=e−∫P(x)dx[C+∫Q(x)e∫P(x)dxdx]=e−∫1xdx[C+∫3xe∫1xdxdx]=1x[C+∫3xxdx]=1x[C+3x]∵y|x=1=0,11[C+3⋅1]=0,C=−3y==1x[−3+3x]y=3(1−1x)

(二)填空题
例6.微分方程d2xdy2+xy=0,的自变量为  y  −−−,未知函数为  x  −−−,方程阶数为  2  −−−

例7.微分方程t(x′)2−2tx′+t=0的自变量为  t  −−−,未知函数为  x  −−−,方程的阶数为  1  −−−

例8.微分方程xyy′′+x(y′)3−y4y′=0的阶数为  2  −−−

例9.微分方程dydx=e2x−y为一阶  变量可分离  −−−−−−−−−方程
原式可变为:eydy=e2xdx

例10.微分方程(y2−6x)y′+2y=0为一阶  一阶线性方程  −−−−−−−−−−−方程
解:(y2−6x)y′+2y=0dydx=2y6x−y2dxdy=6x−y22ydxdy−3yx=−12yP(y)=−3y,Q(x)=−1yy是以y为自变量的一阶线性方程

例11.微分方程xy′−y−y2−x2−−−−−−√=0为一阶  齐次  −−−−−方程
解:xy′−y−y2−x2−−−−−−√=0y′=yx+(yx)2−1−−−−−−−√(x>0)y′=yx−(yx)2−1−−−−−−−√(x<0)为一阶齐次方程

例12.微分方程y′−2y=0的通解是  y=Ce2x  −−−−−−−−−
解:dyy=2dx∫dyy=∫2dxlny=2x+C1y=e2x+C1=eC1⋅e2x=Ce2x

例13.微分方程ylnxdx=xlnydy满足y|x=1=1的特解为  lny=±lnx  −−−−−−−−−−−−
解:ylnxdx=xlnydylnydyy=lnxdxx∫lnydyy=∫lnxdxx∫lnydlny=∫lnxdlnx12(lny)2=12(lnx)2+C∵y|x=1=1C=0lny=±lnx

例14.微分方程y′sinx=ylny,满足y|x=π2=e的特解为  y=etanx2  −−−−−−−−−−
解:y′sinx=ylnydyylny=dxsinx∫dyylny=∫dxsinx∫dlnylny=∫dxsinxln(lny)=∫cscxdxln(lny)=ln(tanx2)+C又由y|x=π2=e，有0=0+C,C=0ln(lny)=ln(tanx2)lny=tanx2y=etanx2

(三)解答题
例15.求微分方程dydx=−yx的通解.
解:dyy=−dxx∫dyy=∫−dxxlny=−lnx+C1y=e−lnx+C1)=eC1⋅e−lnx=C1x(C为任意常数)

例16.求微分方程dydx=e2x−y的通解,并求满足初始条件y(0)=0的特解
解:dydx=e2x−y变形eydy=e2xdx∫eydy=∫e2xdx∫dey=12∫de2xey=12e2x+C通解:y=ln(12e2x+C)把y(0)=0代入,1=12+C,C=12特解:y=lne2x+12

例17.求微分方程(1+y2)xdx+(1+x2)ydy=0的通解
解:(1+y2)xdx+(1+x2)ydy=0dydx=−(1+y2)x(1+x2)ydy2dx2=−1+y21+x2d(y2+1)d(x2+1)=−1+y21+x2d(y2+1)y2+1=−d(x2+1)x2+1∫d(y2+1)y2+1=∫−d(x2+1)x2+1ln(y2+1)=−ln(x2+1)+C1(x2+1)(y2+1)=eC1(x2+1)(y2+1)=C

例18.求微分方程(xy2+x)dx+(y−x2y)dy=0的通解
解:(xy2+x)dx+(y−x2y)dy=0变形ydyy2+1=xdxx2−1∫ydyy2+1=∫xdxx2−112∫dy2y2+1=12∫dx2x2−1∫d(y2+1)y2+1=∫d(x2−1)x2−1ln(y2+1)=ln(x2−1)+C1lny2+1x2−1=C1y2+1x2−1=C(C>0)注意:x≠±1

例19.求微分方程(1+ex)yy′=ex满足y(1)=1的特解
解:方程变形得:ydy=ex1+exdx∫ydy=∫ex1+exdx∫d(12y2)=∫11+exd(1+ex)12y2=ln(1+ex)+C1y2=2ln(1+ex)+C代入y(1)=1,12=2ln(1+e1)+C,C=1−2ln(1+e)特解:y2=2ln(1+ex)+1−2ln(1+e)

例20.求微分方程dydx=y2xy−x2的通解
解:方程变形:dxdy=xy−x2y2dxdy=xy−(xy)2令u=xy,u+u′y=x′=u−u2dyy=−duu2∫dyy=∫−duu2lny=1u−lnC1lnC1y=yxy=Ceyx

例21.求微分方程y′=yx+tanyx的通解,并求满足初始条件y(1)=πy的特解
解:设u=yx,u+u′x=y′=u+tanudutanu=dxx∫dutanu=∫dxxlnsinu=lnx+lnCsinu=Cx通解：sinyx=Cx把y(1)=π6代入,C=sinπ6=12特解:x=2sinyx

例22.求微分方程(1+e−xy)ydx+(y−x)dy=0的通解
解：原方程变形得:dxdy=xy−11+e−xy令u=xy,u+u′y=x′=u−11+e−uu′y=u−1−u−ue−u1+e−u=−1−ue−u1+e−u=−eu−ueu+1dueu+ueu+1=−dyy(eu+1)dueu+u=−dyy∫(eu+1)dueu+u=∫−dyyln(eu+u)=−lny+lnClny(eu+u)=lnCy(eu+u)=Cyexy+x=C

例23.求微分方程dydx+2y=4x的通解
解：使用一阶线性方程通解公式:P(x)=2,Q(x)=4xy=e−∫P(x)dx[C+∫Q(x)e∫P(x)dxdx]=e−∫2dx[C+∫4xe∫2dxdx]=e−2x[C+∫4xe2xdx]=e−2x[C+∫(2x)e2xd(2x)]=e−2x[C+∫(2x)de2x]=e−2x[C+2xe2x−∫e2xd(2x)]=e−2x[C+2xe2x−e2x]=Ce−2x+2x−1(C为任意常数)

例24.求微分方程dydx+y=e−x