2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛三(Discount、Game、Permutation)

2020 年百度之星·程序设计大赛 - 初赛三解题思路及代码（Discount、Game、Permutation）

1、Discount

Problem Description
学皇来到了一个餐馆吃饭。他觉得这家餐馆很好吃，于是就想办个会员。
一共有 nn 种会员充值卡套餐，假设学皇这餐饭的消费为 a 元，选择第 ii 种套餐，需要充值 b[i] * a 的钱，这次吃饭可以打 c[i]×10 折，由充值的钱支付（即这次吃饭只需要从充值金额中扣除 a×c[i] 元）。以后用剩余的充值的钱吃饭不再打折。
请问学皇应该选择哪个套餐（必须选择恰好一个套餐），使得优惠的比例最大？
优惠比例的定义是把充的钱用完以后，(本来应该付的钱 - 实际付的钱) / 本来应该付的钱。在这个题目里，实际付的钱就是这次充值的花费。

Input
第一行一个整数 test(1≤test≤100) 表示数据组数。
对于每组数据，第一行一个正整数 n(1 \leq n \leq 100)n(1≤n≤100) 表示套餐的数目。
接下来 nn 行，每行一个正整数 b[i] (1≤b[i]≤100) 和一个小数 c[i](0≤c[i]≤1，c[i] 最多包含两位小数)。
Output
对于每组数据，输出一个五位小数表示最大的优惠比例。如果小数点后超过五位，四舍五入到五位。

Sample Input
1
2
2 0.5
3 0.1
Sample Output
0.23077
样例解释
对于第一种套餐，优惠比例为 0.5a / (2a + 0.5a） = 0.2；
对于第二种套餐，优惠比例为 0.9a / (3a + 0.9a） = 9 / 39；

阅读题目，会感觉有点复杂，而且一些表达并不好理解，而这道题关键在于Sample Output，它给出了样例的解释说明，直观可以判断出题目最大优惠比例的计算方式，后续很容易解出题目。

Accept代码：

#include
using namespace std;
int main()
{
	int test,i,j,n;
	float c[105],b[105];
	scanf("%d",&test);
	while(test--)
	{
		scanf("%d",&n);
		float r1=0.0,r=0.0;
		for(i=0;i<n;i++)
			scanf("%f%f",&b[i],&c[i]);
		for(i=0;i<n;i++)
		{
			if((1-c[i])/(b[i]+1-c[i])>r)//计算每种方案的优惠比例，取最大值
				r=(1-c[i])/(b[i]+1-c[i]);
		}
		printf("%.5f\n",r);	
	}
	return 0;
} 

2、Game

Problem Description
Alice 和 Bob 在玩游戏。
桌面上有两堆金币，少的那堆有 x 个金币，多的那堆有 2x 个金币。
假设金币可以被无限细分。Alice 和 Bob 事先都不知道 x 是几，但是他们都知道 x 是一个 (0,1] 之间均匀分布的随机实数。
Alice 会等概率的被分配到其中的一堆金币，Bob 会得到另一堆。xx 的值和两堆金币的分配是相互独立的。
拿到金币以后，Alice 会马上数清自己拿到多少金币。然后 Alice 可以选择是否和 Bob 那堆换。
给定 Alice 拿到的金币数目，请问 Alice 要不要交换，使得她期望能得到的金币数目更多？
如果交换期望得到的金币数目多于不交换期望得到的金币数目，输出交换，否则不交换。

Input
第一行一个正整数 test (1≤test≤200000) 表示数据组数。
接下来每行一个小数 p (0 Output
对于每组数据，输出 Yes 表示需要交换，输出 No 表示不要交换。

Sample Input
1
1.00000
Sample Output
Yes

先看了题目，差点被误导为难题，其实看了程序太简单了，实际理解起来类似于博弈问题，当Alice在游戏中要获得更多期望金币，必须从概率方面进行预测。
简而言之，当p>1时，Alice一定就是得到最大那堆金币了，所以一定不交换，因为p=2*x，x 是一个 (0,1] 之间均匀分布的随机实数；反之，当p<=1,存在Bob可能获得最大金币，所以Alice选择交换可能获得最大金币。
虽然存在Alice拿到0.8，Bob拿到0.4或者1.6，但是还是交换为好，碰运气。

目前官方提示： 当 p > 1 时，alice 拿到的一定是大的那部分，所以一定不换； 否则，alice 交换以后有一半概率翻倍，一般概率减半，0.25+0.50.5=1.25，所以一定换。

Accept代码：

#include
using namespace std;
int main()
{
	int test;
	float p;
	cin>>test;
	while(test--)
	{
		cin>>p;
		if(p>1.0)
			cout<<"No\n";
		else
			cout<<"Yes\n";
	}
	return 0;
}

3、Permutation

Problem Description
一开始有 n 个数，他们按 1…n 的顺序排列，要求交换最多 m 对数字（同一个数字可以参与多次交换），使得逆序对数目最大。
对于一个序列 A，如果存在正整数 i,j 使得 1≤i A[j]A[i]>A[j]，则 这个有序对称为 A 的一个逆序对。

Input
第一行一个正整数test (1≤test≤100000) 表示数据组数。
对于每组数据，一行两个整数 n，m (1≤n≤1000000,0≤m≤1000000) 表示数字个数和最多可以交换的数字对数。
Output
对于每组数据，一行一个整数表示答案。

Sample Input
6
1 1
2 0
2 1
3 1
4 1
4 2
Sample Output
0
0
1
3
5
6

看到题目，在纸上写几个简单样例，就很容易发现这是一个找数学规律的题目，可推导出3种情况，具体见代码理解不难。

#include
using namespace std;
int main()
{
	int test,n,m,i;
	scanf("%d",&test);
	while(test--)
	{
		scanf("%d%d",&n,&m);
		int nums=0;
		if(n==1||m==0)
			nums=0;
		else if(m>=n/2)//当交换次数>=数值向下取整的一半，退化为1+2+……+n-1之和
		{
//			for(i=1;i<=n-1;i++)
//				nums+=i;
				nums=n*(n-1)/2;//数学求和公式代替循环
		}
		else
		{
			int minum=n-2*m;//此题关键，推导一般的情况，得到的逆序对
//			for(i=minum;i<=n-1;i++)
//				nums+=i;
				nums=(minum+n-1)*(n-minum)/2;//数学求和公式代替循环
		}
		printf("%d\n",nums);
	}
	return 0;
}

目前官方提示：
当 m≥⌊n/2⌋ 时，一定能变成 n...1，这时逆序对数最大。否则我们依次交换 1 和 n，2 和 n-1，.....，一共交换 m 对。
但是一个问题暂未解决，测试完全正确，而出现超时问题，可以看到我用数学求和公式代替循环，考虑可以解决问题，但是提交居然错误，还未找出原因。希望有大佬可以评论区提出方法，或者之后我解决了会更新AC代码。

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第三题更新啦，debug真实令人……，上面我的想法没错，可用数学公式求和来提高计算效率，提交为何错误呢？我找到了，尝试一个1000000的值，即n=1000000，m=500000可知，定义的变量越界了，所以需要都是长整型long long，小马虎让我不能AC。
所以上面代码稍微修改几个变量类型就OK。
Accept代码：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
int main()
{
	ll test,n,m,i;
	scanf("%lld",&test);
	while(test--)
	{
		scanf("%lld%lld",&n,&m);
		ll nums=0;
		if(n==1||m==0)
			nums=0;
		else if(m>=n/2)//当交换次数>=数值向下取整的一半，退化为1+2+……+n-1之和
			nums=n*(n-1)/2;//数学求和公式代替循环，提高效率
		else
		{
			ll minum=n-2*m;//此题关键，推导一般情况公式，得到的逆序对
			nums=(minum+n-1)*(n-minum)/2;//数学求和公式代替循环，提高效率
		}
		printf("%lld\n",nums);
	}
	return 0;
}

文章评论区的小伙伴还有其他方法，大家可以参考哦。

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