2018暑假集训专题小结 Part.4

总

各种堆 √

堆

这个堆就是普普通通的堆，太简单了，以至于我不想讲。
就只介绍介绍支持的操作——
加入一个新点。
查询最值。
删除堆顶的点。
好像就没啦。

可合并堆（左偏树）

这个左偏树特别厉害，是堆的一个神奇版。（废话）
首先，他支持堆的所有操作，并且支持合并两个堆，还有，左偏树是二叉树（堆）。
实际上，这个左偏树就是在支持合并的基础上进行堆的操作。

那么我们就来看看左偏树怎么合并的。
首先我们来看看左偏树记录最主要的一个东东——
len[]
这个len的定义是：该节点到 有空的子结点的结点 的距离
有点绕，不妨看看图：

我们可以发现一个神奇的性质——
len[i]=min(len[left_son[i]] , len[right_son[i]])+1
当且仅当左右都有儿子，否则就：
len[i]=0

然后有这个len，我们就可以说明左偏树的性质了——
左偏树就是对于任意一个点，有两个儿子。
他们满足左边儿子的len永远大于右边儿子的len值。
这就是左偏树的性质。

我们有这个东西，我们就可以考虑合并了。

这两个堆要合并（数字表示权值）
由于合并就是一个堆插入到另一个堆中，
那么我们首先就把堆顶小的看作“被插入堆”（左边），大的看做“插入堆”（右边）。

然后，我们就对左边的进行插入。

我们首先看左边的堆的右子树，然后，我们发现，右边的堆可以交换到左边的堆的右子树，那么我们就强行把左边的堆的右子树给提出来，与右边的堆直接交换——

那么就交换过来啦~ （画图神技）
然后我们把左边的堆的右子树看做是新的左边堆。
然后，我们递推重复上面的操作——

交换：

最后变成这个样子——

要注意的一个地方是
如果右边的堆的顶大于左边堆的右儿子，那么就不交换，继续递归。

当然，这样做不免会破坏原来的len值，于是我们就在回溯的时候更新即可，然后再通过交换左右儿子的方法来维护左偏树的性质即可。

这样就是一次交换，时间复杂度大约是log的。
那么我们来看看如何维护普通堆支持的操作。

加入一个新点：把原来的左偏树插入一个新的节点即可。
查询最值：直接查询。
删除堆顶的点：合并当前左偏树的根的左右子树即可。

是不是有点强大？
一个问题：
会不会一直加入一个点导致右边有一条特别长的链？
A：不会。因为我们是时时刻刻维护len值的，所以当右边很长的时候，就会交换到左边去，于是就很平衡了。
一个问题：
比平衡树平衡吗？
A：不知道。（这个问题可能没有意义）

空间复杂度（n）
时间复杂度（所有操作都是log n）

斜堆

这个则是左偏树（可合并堆）的一个简化版。
它的具体方法就跟左偏树差不多。

流程：
1、判断左边堆的右子树与右边堆的大小关系。
2、交换。
3、回溯，不看len标号，直接左右子树交换。

所以说，左偏树与斜堆的主要区别就是没有len标号。
斜堆不用len标号，然后就是对于每个点都把左右子树交换。
以此来维持“左偏”
然而，没有你想象中的那么偏。

其实它没有严格的像左偏树那样维持“左偏”。
所以，是有办法把这种做法的右子树变成很长很长的。
虽然很长，但也就是会把你的栈给卡爆。

事实上，我不会如何把它卡爆

有一种非递归的版本——（很好理解，但很难证）
首先，把每颗树的右子树给切出来。（分离出来）
然后，就会变成这棵树有根，有左子树或没有，还有一个新的树（切出来的右子树）。
继续在这个新的树继续切右子树。
百度上有图，我来转转（以下的图都是转百度的）
原图——

然后切一切，之后，我们就按照每颗树的顶点拍序——

把最右边的树连接到它左边的树的右子树，然后把这棵树左右子树交换——

依次这样做：


最后变成——

这就是非递归版的斜堆。
其实，证明正确性也是很好感性理解的。

当然，它可以做很多左偏树的东西（几乎都可以）。
时间复杂度也是一样的。
当然，常数小，比较推荐！

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下次再更：二项堆、斐波那契堆、配对堆
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