Codeforces 1269E. K Integers（逆序对，树状数组+二分）

题目链接：http://codeforces.com/contest/1269/problem/E

Codeforces 1269E. K Integers

题目大意

给定一个1到n的排列，定义一个移动操作为：交换相邻的两个元素。

现在定义一个函数f(x)，表示在原排列中，通过交换操作，形成一个1,2,3....x的排列的子串，需要的最小操作步骤。

子串意味着这个排列必须是相邻的。

现在你需要求出f(1)，f(2)，f(3)......f(n)。

思路

我们考虑相邻的情况。

ans{1 2 3}=0

ans{1 3 2}=1;

ans{2 1 3}=1;

ans{3 2 1}=3;

ans{3 1 2}=2;

ans{4 1 2 3}=3;

。。。

我们发现，在元素相邻的情况下，答案一定是与逆序对有关的（因为最后排列不存在逆序对），并且每一次操作都可以消除一对逆序对，所以，相邻的答案就是逆序对的个数。

现在考虑不相邻的情况，如何移动才能使操作步数最少呢？答案应该是先将i个元素移动到一块儿，变成相邻的情况，再交换逆序对，这样才是最优的，因为这样操作，对于中间的每个不是当前排列的元素，他只会越来越往外面走，而不是混在i个元素中，造成操作的浪费。

所以思路就明确了起来：

首先我们将所有元素移动到一块儿，移动到哪儿合适呢？位置mid应该是左右两边的元素个数尽量相等，这样我们就可以二分中间位置mid了；

其次，说到逆序对，就需要用到树状数组，将元素插入到pos[i]的位置，这样就可以O(logn)的计算当前i元素造成的逆序对个数了（这样就可以累加）；

然后，我们需要计算将元素尽量向中间点mid移动的花费，我们可以分为两部分：mid左边的部分，设个数为cnt(可以用树状数组O(log)求），假设cnt=2，如下图：

pos2移动到mid，需要花费mid-pos2；pos1移动到mid-1，需要花费mid-pos1-1；

如果还有pos3，pos4，花费也是同样计算的。假设位置pos之和为sum，花费为

这就是左边的花费。

右边的同理，尽量往mid+1这个位置移动，假设右边的所有位置之和为sum，个数为cnt，花费为

最后，别忘了逆序对的花费，逆序对可以O(n)递推，每次求的复杂度为O(logn).

最后复杂度大概是O(nlog^2n)。

具体细节可以看代码：

#include 
#define int long long
using namespace std;

const int maxn=2e5+10;
int sum1[maxn];//数的个数
int sum2[maxn];//数的下标之和
int n;
int lowbit(int x){
    return x&-x;
}
void add(int *sum,int x,int v){
    while(x<=n){
        sum[x]+=v;
        x+=lowbit(x);
    }
}
int query(int *sum,int x){
    int res=0;
    while(x>0){
        res+=sum[x];
        x-=lowbit(x);
    }
    return res;
}
int a[maxn];
int pos[maxn];
signed main(){
    scanf("%lld",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        scanf("%lld",&a[i]);
        pos[a[i]]=i;
    }
    int ans1=0;//逆序对的和
    for(int i=1;i<=n;i++){
        ans1+=i-1-query(sum1,pos[i]);//查询在i之前且比i小的数，逆序对
        //将i插入树状数组
        add(sum1,pos[i],1);
        add(sum2,pos[i],pos[i]);
        int mid,l=1,r=n;//二分需要靠拢的最中间的位置
        while(l<=r){
            mid=(l+r)>>1;
            if(query(sum1,mid)*2<=i){
                l=mid+1;
            }
            else{
                r=mid-1;
            }
        }
        //printf("debug %lld\n",mid);
        //printf("debug %lld\n",ans1);
        int ans2=0;
        //将mid左边的数靠拢到mid附近的花费
        int cnt=query(sum1,mid),sum=query(sum2,mid);
        ans2+=mid*cnt-sum-cnt*(cnt-1)/2;
        //将mid右边的数靠拢到mid附近的花费
        cnt=i-cnt,sum=query(sum2,n)-sum;
        ans2+=sum-cnt*(mid+1)-cnt*(cnt-1)/2;
        printf("%lld ",ans1+ans2);
    }
    puts("");
    return 0;
}