带你一次搞懂点积（内积）、叉积（外积）
数量积与向量积
- 1. 基本概念
- （1）数量积
- （2）向量积
- （3）普通乘积
- 2. 举例
- 3. Numpy实现
1. 基本概念
设两向量 a ⃗ = ( x 1 , y 1 , z 1 ) b ⃗ = ( x 2 , y 2 , z 2 ) \vec{a}=\left( {{x}_{1}},{{y}_{1}}, {{z}_{1}} \right)~\vec{b}=\left( {{x}_{2}},{{y}_{2}} ,{{z}_{2}}\right) a=(x1,y1,z1) b=(x2,y2,z2)，夹角为 θ \theta θ
（1）数量积
numpy中 使用
np.dot
数量积又称内积（Kronecker product）、点积（Dot product），对应元素相乘相加，结果是一个标量（即一个数）。
a ⃗ ⋅ b ⃗ = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 \vec{a}\cdot \vec{b}= {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{y}_{1}}{{y}_{2}}+{{z}_{1}}{{z}_{2}} a⋅b=x1x2+y1y2+z1z2有时也写成 a ⊗ b a\otimes b a⊗b
几何意义是 a ⃗ \vec{a} a在 b ⃗ \vec{b} b上的投影： a ⃗ ⋅ b ⃗ = ∣ a ⃗ ∣ ∗ ∣ b ⃗ ∣ ∗ c o s θ \vec{a}\cdot \vec{b}=\left| {\vec{a}} \right|*\left| {\vec{b}} \right|*cos\theta a⋅b=∣a∣∗∣∣∣b∣∣∣∗cosθ
对于矩阵，假设 A A A为 m × s m \times s m×s阶矩阵， B B B为 s × n s \times n s×n阶矩阵（A的列数与B的行数相等），那么 C = A B C=AB C=AB（有时写成）是 m × n m\times n m×n阶矩阵，且矩阵 C C C中的元素满足
c i j = ∑ k = 1 s a i k b k j {{c}_{ij}}=\sum_{k=1}^{s}{{a}_{ik}}{{b}_{kj}} cij=k=1∑saikbkj
A = [ a 11 a 12 ⋯ a 1 s a 21 a 22 ⋯ a 2 s ⋯ ⋯ ⋱ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m s ] B = [ b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋯ ⋯ ⋱ ⋮ b s 1 b s 2 ⋯ b s n ] C = A B = [ c 11 c 12 ⋯ c 1 n c 21 c 22 ⋯ c 2 n ⋯ ⋯ ⋱ ⋮ c m 1 c m 2 ⋯ c m n ] A=\left[ \begin{matrix} {{a}_{11}} & {{a}_{12}} & \cdots & {{a}_{1s}} \\ {{a}_{21}} & {{a}_{22}} & \cdots & {{a}_{2s}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{a}_{m1}} & {{a}_{m2}} & \cdots & {{a}_{ms}} \\ \end{matrix} \right]~~~B=\left[ \begin{matrix} {{b}_{11}} & {{b}_{12}} & \cdots & {{b}_{1n}} \\ {{b}_{21}} & {{b}_{22}} & \cdots & {{b}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{b}_{s1}} & {{b}_{s2}} & \cdots & {{b}_{sn}} \\ \end{matrix} \right]~~~C=AB=\left[ \begin{matrix} {{c}_{11}} & {{c}_{12}} & \cdots & {{c}_{1n}} \\ {{c}_{21}} & {{c}_{22}} & \cdots & {{c}_{2n}} \\ \cdots & \cdots & \ddots & \vdots \\ {{c}_{m1}} & {{c}_{m2}} & \cdots & {{c}_{mn}} \\ \end{matrix} \right] A=⎣⎢⎢⎢⎡a11a21⋯am1a12a22⋯am2⋯⋯⋱⋯a1sa2s⋮ams⎦⎥⎥⎥⎤ B=⎣⎢⎢⎢⎡b11b21⋯bs1b12b22⋯bs2⋯⋯⋱⋯b1nb2n⋮bsn⎦⎥⎥⎥⎤ C=AB=⎣⎢⎢⎢⎡c11c21⋯cm1c12c22⋯cm2⋯⋯⋱⋯c1nc2n⋮cmn⎦⎥⎥⎥⎤
（2）向量积
numpy中 使用
np.cross
向量积又称外积、叉积（Cross product），结果 a ⃗ \vec{a} a和 b ⃗ \vec{b} b的法向量，该向量垂直于 a ⃗ \vec{a} a和 b ⃗ \vec{b} b构成的平面。
a ⃗ × b ⃗ = ∣ i j k x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 ∣ = ( y 1 z 2 − y 2 z 1 ) i ⃗ − ( x 1 z 2 − x 2 z 1 ) j ⃗ + ( x 1 y 2 − x 2 y 1 ) k ⃗ \vec{a} \times \vec{b}= \begin{vmatrix}i & j & k \\ x_1 & y_1 & z_1 \\ x_2 & y_2 & z_2 \\ \end{vmatrix} = (y_1z_2-y_2z_1)\vec{i} - (x_1z_2-x_2z_1)\vec{j}+(x_1y_2-x_2y_1)\vec{k} a×b=∣∣∣∣∣∣ix1x2jy1y2kz1z2∣∣∣∣∣∣=(y1z2−y2z1)i−(x1z2−x2z1)j+(x1y2−x2y1)k ∣ a ⃗ × b ⃗ ∣ = ∣ a ⃗ ∣ ∗ ∣ b ⃗ ∣ ∗ s i n θ |\vec{a} \times \vec{b}| =\left| {\vec{a}} \right|*\left| {\vec{b}} \right|*sin\theta ∣a×b∣=∣a∣∗∣∣∣b∣∣∣∗sinθ
（3）普通乘积
numpy中 使用
np.multiply或*
普通乘积：对应元素相乘，结果还是向量。 a ⃗ ∗ b ⃗ = { x 1 x 2 , y 1 y 2 , z 1 z 2 } \vec{a} * \vec{b}= \{{{x}_{1}{x}_{2}},{{y}_{1}}{{y}_{2}},{{z}_{1}}{{z}_{2}} \} a∗b={x1x2,y1y2,z1z2}
有时写成 A ⊙ B A\odot B A⊙B
2. 举例
X 1 = [ 1 2 3 4 ] Y 1 = [ 5 6 7 8 ] ， X 2 = [ 1 2 3 1 2 3 ] Y 2 = [ 1 2 3 ] X_1 = \begin{bmatrix}1 & 2 \\3 & 4\end{bmatrix}\;\;\;\; Y_1 = \begin{bmatrix}5 & 6 \\7 & 8\end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2 = \begin{bmatrix}1 & 2 & 3\\1 & 2 & 3\end{bmatrix}\;\;\;\; Y_2 = \begin{bmatrix}1\\2\\3 \end{bmatrix} \;\;\;\; X1=[1324]Y1=[5768]，X2=[112233]Y2=⎣⎡123⎦⎤
（1）数量积：
X 1 Y 1 = [ 19 22 43 50 ] ， X 2 Y 2 = [ 14 14 ] X_1Y_1 = \begin{bmatrix}19 & 22 \\43 & 50\end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2Y_2 = \begin{bmatrix}14&14\end{bmatrix} X1Y1=[19432250]，X2Y2=[1414]
（2）向量积：
X 1 × Y 1 = [ − 4 − 4 ] ， X 2 × Y 2 = [ 0 0 0 0 0 0 ] X_1 \times Y_1 = \begin{bmatrix}-4 & -4 \end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2 \times Y_2 = \begin{bmatrix}0&0&0 \\0&0&0 \end{bmatrix} X1×Y1=[−4−4]，X2×Y2=[000000]
（3）普通乘积：
X 1 ∗ Y 1 = [ 5 12 21 32 ] ， X 2 ∗ Y 2 = [ 1 4 9 1 4 9 ] X_1*Y_1 = \begin{bmatrix}5 & 12 \\21 & 32\end{bmatrix}， \;\;\;\; X_2*Y_2 = \begin{bmatrix}1&4&9 \\1&4&9 \end{bmatrix} X1∗Y1=[5211232]，X2∗Y2=[114499]
3. Numpy实现
import numpy as np
X1 = np.array([[1,2],[3,4]])
Y1 = np.array([[5,6],[7,8]])
X2 = np.array([[1,2,3],[1,2,3]])
Y2 = np.array([1,2,3])
## 数量积 使用np.dot
print(np.dot(X1,Y1))
print(np.dot(X2,Y2))
## 向量积 使用np.cross
print(np.cross(X1,Y1))
print(np.cross(X2,Y2))
## 普通乘积 使用np.multiply
print(np.multiply(X1,Y1)) #或者直接使用X1*Y1
print(np.multiply(X2,Y2)) #或者直接使用X2*Y2