算法学习笔记(二):平方根倒数速算法

这是一个神奇的算法!


一、介绍

起源于一篇《改变计算技术的伟大算法》文章,知道这个算法,然后google一下,维基讲的还不错,本文权当自己理清下思路。先贴源代码,为《雷神之锤III竞技场》源代码中的应用实例,剥离了C语言预处理器的指令,并附上了原有的注释。

float Q_rsqrt( float number )
{
	long i;
	float x2, y;
	const float threehalfs = 1.5F;
 
	x2 = number * 0.5F;
	y  = number;
	i  = * ( long * ) &y;                       // evil floating point bit level hacking(对浮点数的邪恶位级hack)
	i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );               // what the fuck?(这他妈的是怎么回事?)
	y  = * ( float * ) &i;
	y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 1st iteration (第一次牛顿迭代)
//      y  = y * ( threehalfs - ( x2 * y * y ) );   // 2nd iteration, this can be removed(第二次迭代,可以删除)
 
	return y;
}

算法的思路:

1、计算出该浮点数的平方根倒数的首次近似值,见源代码中的8-11行

2、利用牛顿法迭代以加强精度,得到要求精度内的值(迭代次数根据精度要求调整,源代码中一次迭代就满足精度要求)

算法的巧妙之处在于代码中的四行蓝色代码,大致过程是:将表示浮点数的字节序列用来表示整数(i  = * ( long * ) &y;),然后通过一个巧妙的整数运算得到一个新的整数(i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );),最后将表示整数的字节序列换回表示浮点数。所以弄清算法关键障碍是:在计算机中是如何表示浮点数和整数的、整数运算又怎能算出浮点数的平方根倒数的近似值、0x5f3759df怎么来的。 


二、浮点数和整数的表示方法

浮点数和整数存储位数一定是相同的这里浮点数和整数都占4字节,32位。

一个浮点数是由32位二进制位表示的有理数,分为三部分。其中符号1位,表示正负,记为Si指数占接下来的8位,表示经过偏移处理后的指数,即实际表示E(如图中为124),需要偏移B(图中为2的8次方减1,127。B为一个固定值),最后得指数值为E-B有效数字(除最高位以外)占剩下的23位,记为m(0

所以浮点数的结构公式为:\scriptstyle x=(-1)^{\mathrm{Si}}\cdot(1+m)\cdot 2^{(E-B)},  图中\scriptstyle x=(1+0.250)\cdot 2^{-3}=0.15625


整数的表示相对简单,符号占1位,数值占剩下的31位。如果用上图的浮点数字节序列来表示整数,那么\scriptstyle I=E\times 2^{23}+M,即I=124\times 2^{23} + 2^{21}.平方根倒数函数仅能处理正数,所以符号位均为0。

小结:对于同样的32位二进制数码,若为浮点数表示时实际数值为\scriptstyle x=(1+m_x)2^{e_x},而若为整数表示时实际数值则为\scriptstyle I_x=E_xL+M_x,其中\scriptstyle L=2^{n-1-b},这里n=32,b=8。式子中引入的新变量为:

m_x=\frac{M_x}{L}   ------------------------------------等式1

e_x=E_x-B,其中B=2^{b-1}-1------------等式2


三、浮点数的平方根倒数近似值

理解浮点数和整数的表示后,下面开始推导。

平方根倒数方程为:

y=\frac{1}{\sqrt{x}}

两边取对数有:

\log_2{(y)}=-\frac{1}{2}\log_2{(x)}

因为浮点数可表示为:\scriptstyle x=(1+m_x)2^{e_x},所以也有,代入上式有:

\log_2(1+m_y)+e_y=-\frac{1}{2}\log_2{(1+m_x)}-\frac{1}{2}e_x

再度引入新数\sigma描述\scriptstyle \log_2{(1+x)}与近似值R间的误差:由于\scriptstyle 0 \le x < 1,有\scriptstyle \log_2{(1+x)}\approx {x},则在此可定义\sigma与x的关系为\scriptstyle \log_2{(1+x)}\cong x+\sigma其中\sigma介于0到1/3,所以将\scriptstyle \log_2{(1+x)}= x+\sigma代入上式得:

m_y+\sigma+e_y=-\frac{1}{2}m_x-\frac{1}{2}\sigma-\frac{1}{2}e_x

将第二部分小结中等式1,等式2代入到上述方程中,有:

M_y+(E_y-B)L=-\frac{3}{2}\sigma{L}-\frac{1}{2}M_x-\frac{1}{2}(E_x-B)L

移项整理得:

E_yL+M_y=\frac{3}{2}(B-\sigma)L-\frac{1}{2}(E_xL+M_x)

又因为浮点规格存储的正浮点数x,若将其作为长整型表示,则示值为:\scriptstyle I_x=E_xL+M_x,所以x的平方根倒数首次近似值整数表示值为:

I_y=E_yL+M_y=R-\frac{1}{2}(E_xL+M_x)=R-\frac{1}{2}I_x,其中R=\frac{3}{2}(B-\sigma)LB=2^{b-1}-1\scriptstyle L=2^{n-1-b}

n=32,b=8

这个式子对应着源代码中的这一行:i  = 0x5f3759df - ( i >> 1 );,然后将整数表示值换回表示浮点数:y  = * ( float * ) &i;。这样就得到了浮点数的平方根倒数的近似值。


四、神秘的0x5f3759df 

由第三部分可知:0x5f3759df 对应着R,即3/2(B-\sigma)L.当R为0x5f3759df时,有\scriptstyle \sigma=0.0450461875791687011756.

"现在不仅该算法的原作者不明,人们也仍无法明确当初选择这个“魔术数字”的方法。Chris Lomont在研究中曾做了个试验:他编写了一个函数,以在一个范围内遍历选取R值的方式将逼近误差降到最小,以此方法他计算出了线性近似的最优R值0x5f37642f(与代码中使用的0x5f3759df相当接近),但以之代入算法计算并进行一次牛顿迭代后,所得近似值与代入0x5f3759df的结果相比精度却仍略微更低。……在Charles McEniry的论文中,他使用了一种类似Lomont但更复杂的方法来优化R值:他最开始使用穷举搜索,所得结果与Lomont相同;而后他尝试用带权二分法寻找最优值,所得结果恰是代码中所使用的魔术数字0x5f3759df"---维基百科


五、结束

至于最后一步牛顿法,自行google。平方根倒数速算法神奇之处在于:1、充分利用了浮点数和整数在计算机中的表示,然后以两次转换表示和一次整数运算替换复杂的浮点数计算,最后通过牛顿法加强精度;2、R的取值。

参考资料

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9%E5%80%92%E6%95%B0%E9%80%9F%E7%AE%97%E6%B3%95



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