微分方程

4.1 秘籍内容

前人的不断探索，才有现在的好功夫，但是我们学习同时懂得创新。
此功夫在科技、工程、经济管理以及生态、环境、人口、交通等各个领域大有作为，因为是研究函数变化规律的有力工具。不过要注意的是一般在用到该功夫可以通过三个方面大大提高效果：
1、根据规律建模；
2、用微元法建模；
3、用模拟近似法建模。

4.2 场景一 ：根据规律建模类模型

在数学、物理、化学等学科有许多实践检验的规律和定律，这些都涉及某些函数变化率。我们可以就此列出相应的微分方程。

例1 物体在空气中的冷却速度与物体和空气的温差成正比，如果物体在20min内由100℃冷却到60℃，那么经过多长时间此物体的温度讲达到30℃？
解：牛顿冷却定律是：将温度为T的物体放入处于常温$T_0$的介质中时，$T$的变化率正比于$T$与周围介质的温度差。

似乎还没感受到此等上层功夫在生活的威力，让我们看看下面一些实例。
（目标跟踪问题）设位于坐标原点的甲舰向位于$x$轴上的点A(1,0)处的乙舰发射导弹，导弹始终对准乙舰。如果乙舰以最大速度$v_0$（是常数）沿平行于y轴的直线行驶，导弹的速度是5$v_0$，求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中？

4.3 场景二 ：根据微元法建模

与第一种的 区别在于不是直接对未知数及其导数应用规律和定理来求关系式，而是对这些微元来应用规律。
我们还是到生活中去感受感受
（容器漏水问题）有高为1$m$的半球型容器，水从它的底部小孔流出。小孔横截面积为1$c{m}^2$.开始时容器装满了水，求小孔流出过程中容器里水面的高度$h$随时间$t$变化的规律。

4.4 场景三 ：模拟近似法建模

生活中有很多规律性我们是不是很清楚的，即使有所了解也并不全面，因此要用数学模型进行研究只好在不同假设下去模拟实际的现象。
交通管理问题）我们都知道在交通十字路口都会设置红绿灯，红绿灯转换间还有黄灯，为什么会设置黄灯呢？还有黄灯亮的时间长短也是有讲究的。

因为对于一名驾驶员来说，不能处于这样的进退两难的境地：要安全停车则离路口太近，要想在红灯亮之前通过路口又觉得太远，所以设置黄灯避免，那么黄灯亮多长时间才最为合理呢

对于行驶近交叉路口的驾驶员，在他看到黄色信号后要做出决定：是停车是通过路口。如果他以法定速度（或低于法定速度）行驶，当决定停车时，他必须有足够的停车距离；当决定通过路口时，必须有足够的时间使他能完全通过路口。这包括做出停车决定的反应时间以及通过路口所需的最短距离的驾驶时间，能够很快看到黄灯驾驶员可以利用刹车距离将车停下。
所以黄灯状态应持续的时间包括驾驶员的反应时间，通过交叉路口的时间以及通过刹车距离需要的时间。

4.5 MATLAB在微分方程解方面的运用

强者自然得有一个称手的武器，数学建模专配武器MATLAB，熟练掌握，杀敌无数，前面说到的微分方程，我们根据条件和规律可以列出微分方程关系式，那么下步就是会解微分方程，数学有很多方法和理论去解决微分方程的解，现在主要说的用MATLAB去解微分方程。

对于微分方程（组）的解析解

求微分方程（组）的解析解用函数dsolve
求解时，需要将微分方程包含在dsolve的表达式中，在表达微分方程时，用字母D表示微分，D2、D3等表示求高阶微分。任何D后所跟的字母为因变量，自变量可以指定或由symvar规则选定为缺省。如微分方程$d^{2}y/d{x}^2=0$以表达D2y=0。

微分方程（组）的数值解

有时候不容易求其解析解时，可以求其数值解。而MATLAB中求微分方程数值解的函数有五个：ode45，ode23，ode113，ode15s，ode23s。程序为[t，x]=solver（’f’,ts,x0,options）其中solver取上面五个函数。比如其中ode23运用一个组合的2/3阶龙格-库塔-菲尔贝格算法。
F是由待解方程写成的M文件名；ts=[t0，tf]，t0，tf为自变量的初值和终值；x0为函数的初值；options用于设定误差限（可以缺省，缺省时设定为相对误差10-3，绝对误差10-6），程序为：options=odeset（‘reltol’，rt，‘abstol’，at）。
rt：设定的相对误差；at：绝对误差。

注意：解方程组时，遇到的是向量，M文件中待解方程组应以向量的分量形式写成

下面我们还是通过例子去了解吧