线性规划问题 --- Linear Program Problem

线性规划问题 — Linear Program Problem

作者：Alex Hu
博客：https://blog.csdn.net/m0_37204267
转载请注明作者和出处。

---

1. LP问题的一般形式

当目标函数和约束函数都是放射时， 问题称作线性规划（LP）。一般线性规划具有以下形式：

minimizesubject tocTx+dGx⪯hAx=b m i n i m i z e c T x + d s u b j e c t   t o G x ⪯ h A x = b

其中 G∈Rm×n,A∈Rp×n，⪯ G ∈ R m × n , A ∈ R p × n ， ⪯ 表示广义不等号。

线性规划也是凸优化问题。它的可行集是一个多边形。几何解释如下：

---

2. LP的两种特殊形式

LP问题的以下两种形式已被深入研究。

• 标准形式线性规划
  
  minimizesubject tocTxAx=bx⪰0 m i n i m i z e c T x s u b j e c t   t o A x = b x ⪰ 0
• 不等式形式线性规划
  
  minimizesubject tocTxAx⪯b m i n i m i z e c T x s u b j e c t   t o A x ⪯ b

---

3. 将一般形式转换为标准形式

将一般形式转化为标准形式的目的是：为了使用标准形式线性规划的算法。
这些转化技巧可以用来将很多问题构造为线性规划。
一般转化步骤为：

1. 引入松弛变量 si s i ，得到
   
   minimizesubject tocTx+dGx+s=hAx=bs⪰0 m i n i m i z e c T x + d s u b j e c t   t o G x + s = h A x = b s ⪰ 0
2. 将变量 x x 表示成两个非负变量 x+ x + 和 x− x − 的差，即 x=x+−x− x = x + − x − ，其中 x+,x−⪰0 x + , x − ⪰ 0 ，从而得到问题
   
   minimizesubject tocTx+−cTx−+dGx+−Gx−+s=hAx+−Ax−=bx+⪰0,x−⪰0,s⪰0 m i n i m i z e c T x + − c T x − + d s u b j e c t   t o G x + − G x − + s = h A x + − A x − = b x + ⪰ 0 , x − ⪰ 0 , s ⪰ 0
   
   这是标准形式的线性规划，其优化变量为 x+,x−和s x + , x − 和 s 。

---

4. 线性分式规划

在多面体上极小化仿射函数之比的问题被称为线性分式规划：

minimizesubject tof0Gx⪯hAx=b m i n i m i z e f 0 s u b j e c t   t o G x ⪯ h A x = b

的目标函数由

f0(x)=cTx+deTx+f,dom f0={x|eTx+f>0} f 0 ( x ) = c T x + d e T x + f , dom   f 0 = { x | e T x + f > 0 }

给出。这个目标函数是拟凸的（事实上是拟线性的），因此线性分式规划是一个拟凸优化问题。

转换为线性规划

可行集非空时，线性分式规划可转换为等价的线性规划

minimizesubject tocTy+dzGy−hz⪯0Ay−bz=0eTy+fz=1z≥0 m i n i m i z e c T y + d z s u b j e c t   t o G y − h z ⪯ 0 A y − b z = 0 e T y + f z = 1 z ≥ 0

优化变量为 x,z x , z 。
为了显示这个等价性，如果 x x 是原始形式的可行解，那么

y=xeTx+f，z=1eTx+f y = x e T x + f ， z = 1 e T x + f

是转换后的可行解，并且具有相同的目标函数值 cTy+dz=f0(x) c T y + d z = f 0 ( x ) 。

---

参考文献

[1] Stephen Boyd, et al. Convex Optimization. Cambridge university press, 2004.
[2] 王书宁, 等. 凸优化. 清华大学出版社, 2013.