第十三讲 二阶非齐次常系数线性ODE的特解

一，二阶非齐次常系数线性ODE的标准形式：

• 

二，通解：

•  

三，将方程化成特殊形式：

• 设方程右边的输入项为“纯振荡”：，，表示复数
• 方程左边换成线性算子式：
• 

四，代换法则：

• 
• 证明：
• D表示对函数求导：，
• 

五，指数输入定理（当时）：

• 的特解为，是常数
• 证明：将特解代入原方程，利用代换法则

六，求特解例题1：

• 
• 将复数化：是的虚部，将代替，
• 方程左边换成线性算子式：，
• 原方程化简为：，表示复数解，
• 利用指数输入定理：
• 分子分母同乘以1+i得：
• 取出虚部：，

七，指数位移法则：

• 
• 证明：假设
• 
• 
• 假设
• 
• 假设
• 

八，指数输入定理（当时）：

• 如果是特征方程的单根，，的特解为
• 证明：

1. 设，
2. 
3. 

• 证明的特解为：

1. 将特解代入原方程
2. 利用指数位移法则
3. 设，
4. 
5. 
6. ，，
7. 

• 如果是特征方程的二重根，，的特解为
• 如果是特征方程的n重根，，的特解为

九，求特解例题2：

• 
• 化简：
• 
• 当时：，是特征方程的单根
• 
• 
• 直接指数输入定理