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图解机器学习-l2约束的最小二乘学习法-matlab源码

约束条件||\theta ||^{2}\leq R  L2约束的最小二乘学习法是以参数空间的圆点为圆心，在一定半径范围的圆内进行求解。

拉格朗日对偶问题：

原始问题：在约束条件  c_{i}(x)\leqslant 0 (i=1,2...k), h_{j}(x)=0(j=1,2...k)  下求  \underset{x}{min}f(x)

引入拉格朗日函数：

L(x,\alpha ,\beta ,)=f(x)+\sum_{i=0}^{k}\alpha _{i}c_{i}(x)+\sum _{j=1}^{l}\beta _{j}h_{j}(x)          \alpha _{i}\geq 0 ,\beta_{i}   称为拉格朗日乘子

约束条件下的最大值：

\theta _{p}(x)=\underset{\alpha ,\beta }{max}[f(x)+\sum _{i=0}^{k}\alpha _{i}c_{i}(x)+\sum _{j=1}^{k}\beta _{j}h_{j}(x)]=\underset{\alpha \beta }{max}f(x)=f(x)

原问题的等价描述为：在约束条件下求min\theta _{p}(x)

p*=\underset{x}{min}\theta _{p}(x)=\underset{x}{min}f(x)

设计对偶函数为了使问题变为等价无约束，然后用KKT求解原始问题最小值即对偶问题最大值

\theta _{D}(\alpha ,\beta )=\underset{\alpha ,\beta }{min}L(x,\alpha ,\beta )

取最大化使其与原始问题临界值对接

d*=\underset{\beta }{max}\theta _{D}(\alpha ,\beta )=\underset{\alpha ,\beta }{max}\underset{x}{min}L(x,\alpha ,\beta )

因为有

\theta _{D}(\alpha ,\beta )=\underset{x}{min}L(x,\alpha ,\beta )\leq L(x,\alpha ,\beta )\leq \underset{\alpha ,\beta }{max}L(x,\alpha ,\beta )=\theta _{p}(x)

即d*\leqp*  所以d*的最大值解\alpha *,\beta *,x* 就是p*的最小值解，也就是原始问题的最优解

求解d*的时候使用如下的KKT方法(Karush-Kuhn-Tucker)

\bigtriangledown _{x}L(x*,\alpha* ,\beta* )=0

\bigtriangledown _{\alpha }L(x*,\alpha *,\beta *)=0

\bigtriangledown _{\beta }L(x*,\alpha *,\beta *)=0

\alpha _{i}c_{i}(x)=0(i=1,2..k)

c_{i}\leq 0(i=1,2..k)

\alpha_{i}*\geq 0(i=1,2..k)

h_{j}(x*)=0(j=1...L)

总结：原始约束条件问题通过对偶问题去掉约束，根据对偶问题的最大值是原始问题的最小值这一对接性质，利用KKT求对偶问题的最大解，也即带有约束条件的原始问题的最小解。

图解机器学习-l2约束的最小二乘学习法-matlab源码_第1张图片

图解机器学习-l2约束的最小二乘学习法-matlab源码_第2张图片

图解机器学习-l2约束的最小二乘学习法-matlab源码_第3张图片

matlab源代码及其解释：

图解机器学习-l2约束的最小二乘学习法-matlab源码_第4张图片

 图解机器学习-l2约束的最小二乘学习法-matlab源码_第5张图片

 

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