信息熵

目录

1.简介

2.定义

2.1 熵/边缘熵/先验熵

2.2 条件熵

2.3 联合熵

2.4 互信息

3.信息增益

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决策树（Decision Tree）和随机森林

特征工程（3）：特征选择—信息增益

1.简介

熵的概念最早起源于，热力学中表征物质状态的参量之一，其物理意义是体系混乱程度的度量，即用于度量一个热力学系统的无序程度。

在信息论里面，熵是对信息不确定性的测量。香农（C. E. Shannon）信息论应用概率来描述不确定性。信息是用不确定性的量度定义的。一个消息的可能性愈小，其信息愈多；而消息的可能性愈大，则其信息愈少。事件出现的概率小，不确定性越多，信息量就大，反之则少。

• 信息量是指信息多少的量度。1928年，R.V.L.哈特莱首先提出信息定量化的初步设想，他将消息数的对数定义为信息量。若信源有m种消息，且每个消息是以相等可能产生的，则该信源的信息量可表示为I=logm
• 信息量与概率呈单调递减关系，概率越小，信息量越大。
• 信息量的数学定义如下式所示，可用随机变量的概率来表示，U表示发送的信息，则表示发送信息U中的一种类型：

                                                                                 

信息熵表示信息量的数学期望，是信源发出信息前的平均不确定性，也称为先验熵。 

熵越高，信息的不确定性越大，预测的难度越大，则能传输越多的信息；

熵越低，信息的不确定性越小，即信息很容易预测到，则意味着传输的信息越少。

如：文件压缩，压缩掉冗余内容

如果压缩是无损的，即通过解压缩可以百分之百地恢复初始的消息内容，那么压缩后的消息携带的信息和未压缩的原始消息是一样的多。而压缩后的消息可以通过较少的比特传递，因此压缩消息的每个比特能携带更多的信息，也就是说压缩信息的熵更加高。

• 未压缩信息：包含很多很容易预测到的对信息的传递无关紧要的内容
• 压缩信息：压缩信息的熵更高，意味着比较难于预测压缩消息携带的信息，原因在于压缩消息里面没有冗余，即每个比特的消息携带了一个比特的信息。香农的信源编码定理揭示了，任何无损压缩技术不可能让一比特的消息携带超过一比特的信息。消息的熵乘以消息的长度决定了消息可以携带多少信息。

2.定义

2.1 熵/边缘熵/先验熵

在信息论与概率统计中，熵是表示随机变量不确定性的度量，不确定性越高，熵值越大。

设 X 是离散型随机变量（有限个），其概率分布为：

                                                         

则随机变量 X 的熵的定义为：

                                                               

注意：

• 熵与X变量的取值无关，只依赖于X的分布， 可以看作 的函数；
• 熵可以看作  的数学期望，负号的作用是确保结果为正；
• log 一般以2为底，单位是比特(bit)，或者以为底，单位奈特(nat)；

信息熵的取值范围：

                                                             

n：X的取值类别数 

当 时，：随机变量取值很确定，即完全没有发送信息的不确定性

当 时，：此时模棱两可，熵取值最大。也就是，当随机变量 X 为均匀分布时，信息熵取值最大。

拿二分类来说，当，：

2.2 条件熵

（1）后验熵

信息熵H(Y) 表示在发出信息之前Y存在的不确定性，在接收到信息之后，信息Y的不确定性会发生改变，即后验熵，它是接收到一定的信息后，对信息Y进行的后验判断，定义如下：

                                  

（2）条件熵：后验熵的期望

考虑所有信息X时，得到后验熵的期望，即条件熵。条件熵 H(Y|X) 表示在已知随机变量X的条件下，随机变量Y的不确定性，定义为X给定条件下Y的条件概率分布的熵对X的数学期望。

                                 

                                                   

                                                    

H(Y|X) 表示在接收到X后对信息Y仍存在的平均不确定性，通常由随机干扰引起。

2.3 联合熵

对于多维随机变量（X,Y），其联合分布为

                         

联合熵的定义为：

                     

基于边缘熵的定义，很容易得到两个随机变量的联合熵。 

最后，将边缘熵、条件熵、联合熵联系起来：

                              

由此可见，H(X,Y) 的不确定性最大，当它减去了 H(X)，得到在X确定的情况下Y的不确定性。

2.4 互信息

互信息 的含义：给定条件Y后，X的信息的不确定性减少的程度。

                                         

如果X和Y相互独立，则，即它们的互信息为0。

                                           

3.信息增益

当熵和条件熵的概率是根据训练集数据估计得到时，成为“经验熵”和“经验条件熵”。

信息增益：表示得知特征X的信息而使得类Y的信息的不确定性减少的程度，熵与条件熵的差，即互信息。

 对于机器学习分类，熵是对不确定性的测量，也可以说是度量样本集合纯度的一种指标，也就是说样本类数越少（不确定性越小），样本纯度越高，信息熵就越小。

决策树中，最重要的一步就是划分属性，信息增益是划分属性的一种方式。直观上讲：

                               = 划分之前数据集的信息熵 - 特征A划分之后的信息熵 

信息增益等价于训练数据集中类与特征的互信息，表示由于特征A而使得对数据集D进行分类的不确定性减少的程度。

对于数据集D而言，信息增益依赖于特征，不同的特征往往具有不同的信息增益，信息增益大的特征具有更强的分类能力。

因此，根据信息增益准则的特征选择方法是：对训练集D，计算其每个特征的信息增益，比较其大小，选择信息增益最大的特征。

 

参考：

https://zhuanlan.zhihu.com/p/112272582