大位宽超前进位加法器的实现

大位宽超前进位加法器

无疑就是位数较多时的超前进位加法器，是用超前进位加法器实现的。

1. 串行进位加法器

• 半加器：不包含进位的加法器，需要两个门实现。
  
  $$S=X\oplus Y$$$$C=X\wedge Y$$
• 全加器：包含进位的加法器，需要五个门实现。
  
  $$S=a\oplus b\oplus c_{in}$$$$C=a\wedge b+a\wedge c_{in}+b\wedge c_{in}或C=a\wedge b+(a\oplus b)\wedge c_{in}$$简单证明下两个等式$$令x=a\oplus b$$$$得x=\overline{a}\wedge b+\overline{b}\wedge a$$$$带入C=a\wedge b+(a\oplus b)\wedge c_{in}$$$$得到C=a\wedge b+(\overline{a}\wedge b+\overline{b}\wedge a)\wedge c_{in}$$$$又因为a\wedge b=a\wedge b\wedge (1+c_{in})=a\wedge b+a\wedge b\wedge c_{in}$$$$得到C=a\wedge b+a\wedge b\wedge c_{in}+(\overline{a}\wedge b+\overline{b}\wedge a)\wedge c_{in}$$$$等价于C=a\wedge b+a\wedge b\wedge c_{in}+a\wedge b\wedge c_{in}+(\overline{a}\wedge b+\overline{b}\wedge a)\wedge c_{in}$$$$bling:C=a\wedge b+a\wedge c_{in}+b\wedge c_{in}$$
• 串行进位加法器使用全加器实现的，由$N$个一位加法器串联而成，第$i$级的用来产生第$i+1$级的进位。但是这种结构的特点是结构直观简单，运行速度慢，最坏情形下关键路径的延时较长。
  
  串行进位加法器的延时：$$T=T_{FA}(x,y-c_{out})+(k-2)\ast T_{FA}(c_{in}-c_{out})+T_{FA}(c_{in}-s)$$
  

2. 超前进位加法器

超前进位加法器就是利用进位产生项和进位传播项实现的，改进的串行进位加法器，一种优化，改变了进位的计算方法，提升了加法器的速度。
具体实现方法：
分析$S_i=A_i\oplus B_i\oplus C_i和C_{i+1}=A_i\wedge B_i+(A_i\oplus B_i)\wedge C_i$
令$进位产生项G_i=A_i\wedge B_i,进位传播项P_i=A_i\oplus B_i$
得到：$S_i=P_i\oplus C_i和C_{i+1}=G_i+P_i\wedge C_i$

举个简单的例子，用超前进位加法器实现4位加法：
$$C_1=G_0+P_0\wedge C_0$$$$C_2=G_1+P_1\wedge C_1=G_1+P_1{G}_0+P_1\wedge P_0\wedge C_0$$$$C_3=G_2+P_2\wedge C_2=G_2+P_2\wedge G_1+P_2\wedge P_1{G}_0+P_2\wedge P_1\wedge P_0\wedge C_0$$$$C_4=G_3+P_3\wedge C_3=G_3+P_3\wedge G_2+P_3\wedge P_2\wedge G_1+P_3\wedge P_2\wedge P_1{G}_0+P_3\wedge P_2\wedge P_1\wedge P_0\wedge C_0$$

可得出：每个进位的值均只与输入有关。
但也有不足：当展开的项数越多，电路扇入变大，复杂度增加，速度减慢，通常超前进位加法器4位为单位，便可以形成多位进位加法器啦，即大位宽超前进位加法器。

3.用超前进位加法器实现16位加法器

对$C_4$再进一步处理$C_4=G_3+P_3\wedge C_3=G_3+P_3\wedge G_2+P_3\wedge P_2\wedge G_1+P_3\wedge P_2\wedge P_1{G}_0+P_3\wedge P_2\wedge P_1\wedge P_0\wedge C_0$
令$P=P_3\wedge P_2\wedge P_1\wedge P_0$
$G=G_3+P_3\wedge C_3=G_3+P_3\wedge G_2+P_3\wedge P_2\wedge G_1+P_3\wedge P_2\wedge P_1{G}_0$,因为$P$和$G$均与输入有关，$C_4=G+P\wedge C_0$,这是一个单位，改变下形式：$$此P_0非彼P_0，P_0=P_3\wedge P_2\wedge P_1\wedge P_0$$$$此G_0非彼G_0，G_0=G_3+P_3\wedge C_3=G_3+P_3\wedge G_2+P_3\wedge P_2\wedge G_1+P_3\wedge P_2\wedge P_1{G}_0$$$$C_1=G_0+P_0\wedge C_0$$正如下图所示：

便可形成16位加法器了：

进而可以形成更加复杂的加法器：

4.符号声明

$$异或表示：S=X\oplus Y$$$$与表示：C=X\wedge Y$$

5.致谢

文中部分图片来自中国科学院微电子研究所梁利平老师的课件，特此感谢。