nowcoder NC13221 数码（整除分块）

题目链接：https://ac.nowcoder.com/acm/problem/13221

题意：给定两个整数$l$和$r$ ，对于所有满足$1\le l\le x\le r\le 10^9$的$x$ ，把$x$ 的所有约数全部写下来。对于每个写下来的数，只保留最高位的那个数码。求$1～9$每个数码出现的次数。

思路：
在讲这一题得写法之前，我们先要引入整除分块这个知识。

整除分块是求${\sum }_{i=1}^{n}n/i$的和。
首先如果我们直接$for$循环遍历一遍，那一般题目一定会超时。还是遵循遇事不决先打表的原则，我们将$n=10$带进去模拟一下，可以得到如下表所示的值：

我们可看到有很多的之都是一样的，那我们是不是就可以将所有$n/i$相等的放在“一块”呢？那我们可以定义两个变量$l,r$，用$l$表示这一块的左区间，$r$表示这一块的右区间，所以$l$我们要从一开始遍历，每次令$l=r+1$，那$r$呢？我们在草稿纸上算一下就知道，$r=n/(n/l)$，$n/l$便是这个块内的值。所以这一块对答案的贡献就是$(r-l+1)\ast (n/l)$
具体代码实现如下：

for(int l = 1 , r ; l <= x ; l = r + 1) {
   	r = x / (x / i );
    ans += 1LL * (r - l + 1) * (x / l);
}

讲完了整除分块，我们回到原题。
题目是让我们求的数是$l,r$这个区间的，假设函数$solve(x)$表示$[1,x]$这个区间对应得答案，那么$[l,r]$区间的答案是不是就是
$solve(r)-solve(l-1)！$那我们只要把这个$solve(x)$写出来不就好啦！！！可以该怎么写呢？
因为题目要求我们求$1->9$出现的个数，所以我们可以一个一个的算，拿$1$举例，如果$x\%y==0$
其中$y\in [1,2)，[10,20)，[100,200)，[1000,2000)$那答案对1的贡献++，那我们就可以细化到每个区间（用$l,r$表示）。
那$[1,x]$区间有多少个数可以整除$y$呢？答案显然就是$x/y$；
那这一题就是让我们求$(x/1)+(x/10+x/11+x/12+...)$这不就是我们上面讲的整除分块的板子题了嘛。

AC代码如下：

#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 
#include 

using namespace std;

#define LL long long
#define pii pair
#define sd(x) scanf("%d",&x)
#define slld(x) scanf("%lld",&x)
#define pd(x) printf("%d\n",x)
#define plld(x) printf("%lld\n",x)
#define rep(i,a,b) for(int i = a ; i <= b ; i++)
#define per(i,a,b) for(int i = b ; i >= a ; i--)
#define mem(a) memset(a,0,sizeof(a))
#define lson l , m , rt << 1
#define rson m + 1 , r , rt << 1 | 1
#define fast_io ios::sync_with_stdio(false)

const LL INF = 1e18;
const int mod = 2010;
const int maxn = 2e5 + 7;

LL solve(LL x,LL v) {
    LL res = 0;
    for(LL temp = 1 ; temp <= x / v ; temp *= 10) {
    	///确定左右区间
        LL l = temp * v , r = min(x , l + temp - 1);
        ///整除分块
        for(int i = l , j ; i <= r ; i = j + 1) {
            j = min(x / (x / i) , r);
            res += 1LL * (j - i + 1) * (x / i);
        }
    }
    return res;
}

int main() {
    int x,y;
    while(~scanf("%d%d",&x,&y)) {
        for(int i = 1 ; i <= 9 ; i++) {
        	///直接俄统计答案
            printf("%lld\n" , solve(y,i) - solve(x-1,i));
        }
    }
    return 0;
}