GCD、LCM、拓展欧几里得、逆元
这个数论很早就知道，一直没学，昨天好不容易学了出来，很煎熬，怕以后忘了，把自己的想法写出来。
先帖一下GCD、LCM的模板：
int gcd(int a,int b){
return b == 0 ? a : gcd(b, a % b);
}
int lcm(int a,int b){
return a / gcd(a,b) * b;// 公式:a / gcd(a,b) * b / gcd(a,b) * gcd(a,b);
}
--------拓展欧几里得算法
主要是求二元一次方程的通解：ax + by = n 有整数解的条件是 n 可以整除 gcd(a,b)。如果有解的话（x0,y0），那么通解就是 x = x0 + (b/gcd)t ; y = yo - (a/gcd)t;
解：假设c为x的解的最小间距，此时d为y的解的间距，所以x=x0+ct，y=y0-dt（x0，y0为一组特解，t为任意整数）
带入方程得：a*x0+a*c*t+b*y0-b*d*t=n,因为a*x0+b*y0=n，所以a*c*t-b*d*t=0，t不等于0时，a*c=b*d
因为a,b,c,d都为正整数，所以用最小的c，d，使得等式成立，ac，bd就应该等于a，b的最小公倍数a*b/gcd(a,b),
所以c=b/gcd(a,b)，d就等于a/gcd(a,b)。
欧几里得算法能求出ax + by = gcd(a,b)的一个解
贴欧几里得算法模板：
void extend_gcd(int a, int b, int &x, int &y){
if(b == 0){
x = 1,y = 0;//当b为0时，a = gcd(a,b) ，所以 a * 1 + b * 0 = gcd(a,b)
return ;
}
extend_gcd(b, a % b, x, y);
int tmp = x;//这里推导出了由上一层到这一层x与y的公式，证明可在B站看到
x = y;
y = tmp - (a / b) * y;
}
上面先求出了ax + by = gcd(a,b)的解，可利用它求出ax + by = n的通解：
1、判断ax + by = n 是否有整数解，有解的条件是n可以整除gcd(a,b)
2、用拓展欧几里得算法求ax + by = gcd(a,b)的一个解（x0,y0）
3、在ax0 + by0 = gcd(a,b)两边同时乘以n/gcd(a,b),得：
ax0 * n/gcd(a,b) + by0 * n/gcd(a,b) = n;
4、对照ax + by = n，得到它得一个解为(x1,y1):
x1 = x0 * n/gcd(a,b)
y1 = y0 * n/gcd(a,b)
通解为 : x = x1 + b/gcd(a,b) * t; y = y1 + a/gcd(a,b)
求正数最小解为 ：(b/gcd(a,b) + x1 %(b/gcd(a,b)) % b/gcd(a,b)
关于通解得证明方式可以借鉴关于poj2115的题解
关于这题可拿poj1061练手
#include ------同余与逆元
如果 a % m = b % m 则可以记作a ≡ b (mod m)
若有一个方程 ax ≡ 1(mod m)，则意味着 ax % m = 1，这个式子可以转换成 ax + my = 1，求出(x0,y0),则ax0 + my0 = 1,实则为ax0 % m = 1;则这种情况下称x为a模m的逆；
逆元的意义是:取模没有除法运算，所以将除变成乘倒数
设b的逆元为k，则bk % m = 1；
（a/b）mod m = (a / b) % m * ((bk) % m) = (a / b * bk) % m = ak % m
求逆元的模板：
1、拓展欧几里得
int mod_inverse(int a, int m){
int x, y;
extend_gcd(a,m,x,y);
return (m + x % m) % m;
]
2、费马小定理 (注意条件)
我们知道，当p为素数，并且gcd(a,p)=1时，我们有ap−1≡1(modp)。那么我们就有ap−2×a≡1(modp)。所以逆元就是ap−2了。这里使用快速幂来计算
typedef long long ll;
ll pow_mod(ll x, ll n, ll mod){
ll res=1;
while(n>0){
if(n&1)res=res*x%mod;
x=x*x%mod;
n>>=1;
}
return res;
}
3、线性求逆元：
直接出公式，证明网上好多:A[i]=-(p/i)*A[p%i];注意，一般会爆int,看情况加1ll
inv[0]=inv[1]=1;
for(int i=2;i<N;i++)
inv[i]=((MOD-MOD/i)*inv[MOD%i])%MOD;
4、阶乘求逆元:
如果我们需要求0!到n!的逆元，对于每个元素都求一遍，就显得有点慢。（虽然exPower的时间快到可以认为是小常数。）
前面我们说了，逆元就可一看做是求倒数。那么不就有1/(n+1)!×(n+1)=1/n!。
int inv( int b, int p ) {
int a, k;
exPower( b, p, a, k );
if( a < 0 ) a += p;
return a;
}
void init( int n ) {
Fact[ 0 ] = 1;
for( int i = 1; i <= n; ++i ) Fact[ i ] = Fact[ i - 1 ] * i % Mod;
INV[ n ] = inv( Fact[ n ], Mod );
for( int i = n - 1; i >= 0; --i ) INV[ i ] = INV[ i + 1 ] * ( i + 1 ) % Mod;
return;
}
拿hdu5976练手：
#include