数论——扩展欧几里得算法

欧几里得& 拓展欧几里得(Euclid & Extend-Euclid)

欧几里得算法(Euclid)

背景:

欧几里德算法又称辗转相除法,用于计算两个正整数a,b的最大公约数。 ——百度百科
代码:

递推的代码是相当的简洁:

int gcd(int a,int b) { return b == 0 ? a : gcd(b, a % b); }  

分析:

方法说了是辗转相除法,自然没有什么好介绍的了。。
Fresh肯定会觉得这样递归下去会不会爆栈?实际上在这里是不会爆栈的,因为递归的层数是非常小的,不信你可以随便拿一些大数测试一下,lrj的白书和紫书上讲到gcd函数的递归层数不超过40785lgN + 1.6723,其中N=max{a,b}。让gcd函数递归层数最多的是gcd(F(n),F(n-1)),F(n)是Fibonacci数!!至于为什么博主没有证明,有想法的小伙伴麻烦在评论在说下下,(^__^) 嘻嘻……
拓展欧几里得(Extend- Euclid)

背景:

扩展欧几里德算法是用来在已知a, b求解一组x,y [x,y都是整数],使它们满足贝祖等式: ax+by = gcd(a, b) =d(解一定存在,根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。 ——百度百科
用到的几个欧几里得重要结论:

1) gcd(a,b) = gcd(b,a %b);
2) gcd(a,0) = a.
代码:

void exgcd(ll a, ll b, ll& d, ll& x, ll &y)  {  
    if(!b) d = a, x = 1, y = 0;  
    else  {  
        exgcd(b, a % b, d, y, x);  
        y -= x * (a / b);  
    }  
}  

分析:

设如下两个方程:
ax+by = gcd(a,b) = d;
bx’+(a%b)y’ = gcd(b,a%b);
那么由重要结论(1)有gcd(a,b) = gcd(b,a %b),
那么ax+by = bx’+(a%b)y’ = bx’ +(a – [a/b]*b)y’ = ay’ + b(x’ – [a/b]y’),
由恒等关系有: x = y’ , y = (x’ – [a/b]y’),[a/b]表示a/b的值向下取整。
……..
那么现在就可以用exgcd(a,b,d,x,y)表示方程ax+by = d,那么由上面一直递归下去,直到 b = 0,递归结束,此时 d = gcd(a,0) =a , x = 1,y =0;【因为 ax+0*y = gcd(a,0)嘛~】
拓展欧几里得的几个应用

求解不定方程

例如:求解不定整数方程ax+by = c
求ax+by = c, 令d =gcd(a,b);
那么(a / d ) * x + (b / d )* y = c / d
因为(a / d )、(b / d ) 、x、y都是整数,那么保证原不定整数方程ax+by = c有解的充要条件就是c / d为整数,即c是gcd(a,b)的倍数。
如果有解,那么令 K = c/d;
那么,对方程aX+bY = d;假设有拓展欧几里得求出一组解为(X0,Y0),那么aX0+bY0 = d;等式两边同时乘以K,即K*( aX0+bY0 ) = d*K = c;由恒等关系,原方程的解(x0,y0):
X0 = KX0 = c/d * X0,y0 = KY0 = c/d *Y0。
不定方程的通解:

   若(x0,y0)是不定整数方程ax+by = c的一组解,则他的任意整数解都可以表示成(x0+ kb’, y0-ka’),其中a’ = a/gcd(a,b), b’ = b/gcd(a,b).

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